bzoj1040: [ZJOI2008]骑士(基环树dp)

1040: [ZJOI2008]骑士

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Description

　　Z国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各
界的赞扬。最近发生了一件可怕的事情，邪恶的Y国发动了一场针对Z国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境
中安逸了数百年的Z国又怎能抵挡的住Y国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一
个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一
些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出
征的。战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有
的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的
情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。为了描述战斗力，我们将骑士按照1至N编号，给每名骑士一个战
斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

Input

　　第一行包含一个正整数N，描述骑士团的人数。接下来N行，每行两个正整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力
和他最痛恨的骑士。

Output

　　应包含一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

Sample Input

3
10 2
20 3
30 1

Sample Output

30

HINT

 

N ≤ 1 000 000，每名骑士的战斗力都是不大于 1 000 000的正整数。

 

 

概念

在图论中，树被视作为一种特殊的图G=(V, E)，其中|V| = |E|+1。其存在如下特性：

1. 树G上任意两点必定能够通过途经若干边后到达
2. 任意两点间的路径必然唯一，即不存在环
3. 将树G上任意一条边删去，该图即成为非连通图
4. 在G中任意不相连两点间插入一条边，该新图G’ =(V, E’)正好含有一个环

基环树的概念即是从上述特性4所引申出的特殊的树。虽然其不符合树|V| = |E| + 1的特征，但由于其特殊性——删除环上任意一条边即可成为树，故仍将其视作”树”来解决问题。

 

/*
基环树森林dp
f[0][u]表示以点u为根的子树不选u点时的最大权值，f[1][u]表示以点u为根的子树必选u点时的最大权值。
无向树可以以任意一点u为根，做树形dp求最大值，其答案将保存在f[0][u]和f[1][u]中。
基环树不考虑f[1][u]的值，则答案将保存在f[0][u]中
此时，已遍历所有情况的最优值——除了必须选择点u的情况。将
需删除的边的另一端点作为根求值，此时考虑了选与不选u的情况。
同时由于不能同时选择u与v，则答案必然为可行方案的最大值
但是，实际上此图并不保证两点间一定存在至少一条路径。
综合上述情况，可以将其视作由若干基环树构成的基环树林。对每个基环树单独求解后求Σ。
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

#define N 1000007

using namespace std;
int head[N],w[N],vis[N];
long long f[2][N];
int cnt=1,n,m,edge_f,edge_to,edge_cnt;
struct edge
{
    int u,to,pre;
}e[N<<1];

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

inline void add(int u,int to)
{
    e[++cnt].to=to;e[cnt].pre=head[u];head[u]=cnt;
}

void dfs(int from,int now)
{
    vis[now]=1;
    for(int i=head[now];i;i=e[i].pre)
    {
        if(e[i].to==from)continue;
        if(!vis[e[i].to]) dfs(now,e[i].to);
        else//便利到环，记录关键边 
        {
            edge_f=now;edge_to=e[i].to;
            edge_cnt=i;
        }
    }
}

void tree_dp(int root,int fa)
{
    f[0][root]=0;f[1][root]=w[root];
    for(int i=head[root];i;i=e[i].pre)
    {
        if(e[i].to==fa) continue;
        if(i==edge_cnt || i==(edge_cnt^1)) continue;
        tree_dp(e[i].to,root);
        f[0][root]+=max(f[0][e[i].to],f[1][e[i].to]);
        f[1][root]+=f[0][e[i].to];
    }
}

int main()
{
    n=read();int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        w[i]=read();x=read();
        add(x,i);add(i,x);
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(vis[i])continue;
        dfs(-1,i);
        tree_dp(edge_f,-1);
        long long tmp=f[0][edge_f];
        tree_dp(edge_to,-1);
        ans+=max(tmp,f[0][edge_to]);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}