bzoj 1468 Tree(点分治模板)

 

1468: Tree

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Description

给你一棵TREE,以及这棵树上边的距离.问有多少对点它们两者间的距离小于等于K

Input

N（n<=40000） 接下来n-1行边描述管道，按照题目中写的输入 接下来是k

Output

一行，有多少对点之间的距离小于等于k

Sample Input

7
1 6 13
6 3 9
3 5 7
4 1 3
2 4 20
4 7 2
10

Sample Output

5

 

/*
思路：
最容易想到的算法是：从每个点出发遍历整棵树，统计数对个数。
由于时间复杂度O(N^2)，明显是无法满足要求的。

对于一棵有根树， 树中满足要求的一个数对所对应的一条路径，必然是以下两种情况之一：
1、经过根节点
2、不经过根节点，也就是说在根节点的一棵子树中
对于情况2，可以递归求解，下面主要来考虑情况1。

设点i的深度为Depth[i]，父亲为Parent[i]。
若i为根，则Belong[i]=-1，若Parent[i]为根，则Belong[i]=i，否则Belong[i]=Belong[Parent[i]]。
这三个量都可以通过一次BFS求得。
我们的目标是要统计：有多少对(i,j)满足i<j，Depth[i]+Depth[j]<=K且Belong[i]<>Belong[j]

如果这样考虑问题会变得比较麻烦，我们可以考虑换一种角度：
设X为满足i<j且Depth[i]+Depth[j]<=K的数对(i,j)的个数
设Y为满足i<j，Depth[i]+Depth[j]<=K且Belong[i]=Belong[j]数对(i,j)的个数
那么我们要统计的量便等于X-Y

求X、Y的过程均可以转化为以下问题：
已知A[1],A[2],...A[m]，求满足i<j且A[i]+A[j]<=K的数对(i,j)的个数

对于这个问题，我们先将A从小到大排序。
设B[i]表示满足A[i]+A[p]<=K的最大的p(若不存在则为0)。我们的任务便转化为求出A所对应的B数组。那么，若B[i]>i，那么i对答案的贡献为B[i]-i。
显然，随着i的增大，B[i]的值是不会增大的。利用这个性质，我们可以在线性的时间内求出B数组，从而得到答案。

综上，设递归最大层数为L，因为每一层的时间复杂度均为“瓶颈”——排序的时间复杂度O(NlogN)，所以总的时间复杂度为O(L*NlogN)

然而，如果遇到极端情况——这棵树是一根链，那么随意分割势必会导致层数达到O(N)级别，对于N=10000的数据是无法承受的。因此，我们在每一棵子树中选择“最优”的点分割。所谓“最优”，是指删除这个点后最大的子树尽量小。这个点可以通过树形DP在O(N)时间内求出，不会增加时间复杂度。这样一来，即使是遇到一根链的情况时，L的值也仅仅是O(logN)的。

因此，改进后算法时间复杂度为O(Nlog^2N)，可以AC。
/*

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

#define inf 0x3f3f3f3f
#define maxn 40010

using namespace std;
struct node
{
    int to,w,next;
}e[maxn<<1];
int head[maxn],vis[maxn],son[maxn],deep[maxn],f[maxn],d[maxn];
int n,cnt,root,sum,K,ans,num,x,y,z,L;

inline int read()
{
    int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c>'9'||c<'0'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}

inline void add(int u,int v,int dis)
{
    e[++num].to=v;e[num].next=head[u];
    e[num].w=dis;head[u]=num;
}

inline void init()
{
    cnt=ans=root=sum=0;
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(deep,0,sizeof(deep));
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        x=read();y=read();z=read();
        add(x,y,z);add(y,x,z);
    }
}

void get_root(int now,int fa)
{
    son[now]=1;f[now]=-1;
    for(int i=head[now];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(vis[v]||v==fa) continue;
        get_root(v,now);
        son[now]+=son[v];f[now]=max(f[now],son[v]);
    }
    f[now]=max(f[now],sum-son[now]);
    if(f[now]<f[root]) root=now;
}

void get_deep(int now,int fa)
{
    deep[++L]=d[now];
    for(int i=head[now];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(vis[v]||v==fa) continue;
        d[v]=d[now]+e[i].w;
        get_deep(v,now);
    }
}

int cal(int now,int dis)
{
    d[now]=dis;L=0;get_deep(now,-1);
    sort(deep+1,deep+L+1);
    int t=0;
    for(int l=1,r=L;l<r;)
    {
        if (deep[l]+deep[r]<=K) t+=r-l,l++;
        else r--;        
    }
    return t;
}

void work(int u)
{
    ans+=cal(u,0);vis[u]=1;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
    {
        int v=e[i].to;
        if(vis[v]) continue;
        ans-=cal(v,e[i].w);sum=son[v];
        root=0;get_root(v,0);work(root);
    }
}

int main() 
{
    freopen("data.txt","r",stdin);
    freopen("bzoj1468.txt","w",stdout);
    n=read();
    init();K=read();
    sum=n;f[0]=inf;
    get_root(1,-1);
    work(root);
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 40005
using namespace std;
struct arr{int s,go,next;}a[N*2];
int end[N],son[N],f[N],d[N],data[N];
int cnt,L,All,ans,i,x,y,z,n,root,K;
bool Can[N];
void add(int u,int v,int s)
{
  a[++cnt].go=v;a[cnt].next=end[u];a[cnt].s=s;end[u]=cnt;
}

void Get_root(int k,int fa)
{
  son[k]=1;f[k]=0;
  for (int i=end[k];i;i=a[i].next)
  {
    int go=a[i].go;
    if (go==fa||Can[go]) continue;
    Get_root(go,k);son[k]+=son[go];
    if (son[go]>f[k]) f[k]=son[go];
  }
  if (All-son[k]>f[k]) f[k]=All-son[k];
  if (f[k]<f[root]) root=k;
}

void Get_array(int k,int fa)
{
  data[++L]=d[k];
  for (int i=end[k];i;i=a[i].next)
  {
    int go=a[i].go;
    if (go!=fa&&!Can[go]) 
      d[go]=d[k]+a[i].s,Get_array(go,k);
  }
}

int calc(int k,int now)
{
  d[k]=now;L=0;Get_array(k,-1);
  int A=0,l,r;
  sort(data+1,data+L+1);
  for (l=1,r=L;l<r;)
    if (data[r]+data[l]<=K) A+=(r-l),l++;else r--;
  return A;
}

void work(int k)
{
  ans+=calc(k,0);Can[k]=1;
  for (int i=end[k];i;i=a[i].next)
  {
    int go=a[i].go;
    if (Can[go]) continue;
    ans-=calc(go,a[i].s);f[root=0]=n+1;
    All=son[go];Get_root(go,-1);
    work(root);
  }
}

int main()
{
    freopen("data.txt","r",stdin);
    freopen("1468.txt","w",stdout);
  scanf("%d",&n);
  for (i=1;i<n;i++)
    scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z);
  scanf("%d",&K);All=n;
  f[root=0]=n+1;Get_root(1,-1);
  work(root);
  printf("%d",ans);
  return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define PaiChuCuoWuCaiBREAK true

int main()
{
    while(PaiChuCuoWuCaiBREAK)
    {
        system("data.exe");
        system("1468.exe");
        system("bzoj1468.exe");
        if(system("fc 1468.txt bzoj1468.txt")) {cout<<"lrhdsb";break;}
    }
    return 0;
}

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define maxn 10004
#define justval 68451
#define justval_ 15641684

int l[maxn],r[maxn],n,lo,ro;

int main()
{
    freopen("data.txt","w",stdout);
    n=rand()%maxn+1;printf("%d\n",n);
    for(int i=1;i<n;i++) l[i]=i+1;
    lo=n-1,r[++ro]=1;
    for(int just=1;just<n;just++)
    {
        int pos=rand()%lo+1;
        int pos_=rand()%ro+1;
        r[++ro]=l[pos];
        printf("%d %d %d\n",l[pos],r[pos_],rand()%justval);
        for(int i=pos;i<lo;i++) l[i]=l[i+1];lo--;
    }
    printf("%d\n",rand()%justval_);
    return 0;
}