图的基础知识梳理

图的基础知识梳理

目录

• 图的基础知识梳理
  • 图的定义
  • 图的分类
    • 有向图
    • 无向图
    • 完全图
    • 稀疏图
    • 稠密图
    • 平凡图
    • 零图
  • 顶点的度
    • 孤立点
    • 叶节点
    • 偶点
    • 奇点
  • 图的路径
  • 图的连通性
    • 无向图
    • 有向图
  • 带权图
  • 图的储存
    • 邻接矩阵
      • 思路
        • 无向图
        • 代码
        • 有向图
        • 代码
      • 时间、空间复杂度
      • 优点
    • 邻接表
      • 思路
        • 代码
      • 时间、空间复杂度
      • 优点
  • 欧拉路
    • 无向图实现
      • 思路
    • 有向图实现
      • 思路
• 完结撒花

图的定义

图是由顶点集合和顶点之间的边组成的数学结构,图的阶是图中顶点的个数,下图是几种不同的图
有向图

无向图

零图

图的分类

图的分类是以边的不同来分为7类

有向图

有向图指图中每边都是有方向的边的图叫有向图

无向图

无向图指图中每一边都是没有方向的边的图叫无向图

完全图

完全图指图中每一个顶点都与剩下的每个结点相连，这样的图叫完全图

很美丽的图案呢！

稀疏图

稀疏图指图中边的数量少（边数远小于n(n-1)/2或小于nlog(n)(n为边数)）的图称为稀疏图

稠密图

稠密图与稀疏图相对，指的是边的数量多（几乎接近完全图）的图成为稠密图

平凡图

平凡图指图中的阶数为1的图是平凡图，阶数大于1的为非平凡图，阶数为0的是空图
平凡图

非平凡图

空图（没错要相信自己的眼睛）

零图

零图指只有顶点没有边的 图叫零图

顶点的度

顶点的度的定义：一个顶点与其相连的边的条数叫做这个顶点的度

上图中顶点5的度为

孤立点

孤立点：度为0的顶点
如上图中的1

叶节点

叶节点：度为1的顶点
如上图中的4

偶点

偶点：度为偶数的顶点
如上图中的2

奇点

奇点：度为奇数的顶点
如上图中的6

图的路径

图的路径是指从一个顶点到另一个顶点所经过的顶点序列
一条路径中，顶点不重复出现的路径叫简单路径
除了起点和终点相同，其余不相同的称为回路或环

图的连通性

无向图

在无向图中，如果一个顶点u到另一个顶点v（u不等于v）存在路径，则称顶点u和顶点v是连通的
若图中任意两个顶点都是连通的，那么称该图为连通图

有向图

在有向图中，如果图中任意两个顶点u和v（u不等于v）存在路径（按其概念），那么称该图为强连通图
若将其转化为无向图后，图中任意两个顶点都是连通的，那么称该图为弱连通图

带权图

在上文讲的基础上，在边上加上有关边的数据（权值），形成带权图

图的储存

图的储存主要分为2种，邻接矩阵、邻接表

邻接矩阵

思路

邻接矩阵是用一个二维数组adj来存储i和j的关系
adj初始化为0

无向图

在无向图中如果i，j连通那么adj[i][j]=adj[j][i]=1，否则adj[i][j]=adj[j][i]=0

上图用邻接矩阵来存为：

下标	1	2	3	4	5
1	0	1	0	0	1
2	1	0	0	0	1
3	0	0	0	1	1
4	0	0	1	0	1
5	1	1	1	1	0

代码

void join (int u,int v) {//u和v相通
    adj[u][v] = 1;
    adj[v][u] = 1;
}

有向图

在有向图中如果i指向j那么adj[i][j]=1，如果n指向i那么adj[j][i]=1，否则adj[i][j]=adj[j][i]=0

上图用邻接矩阵来存为：

下标	1	2	3	4	5
1	0	1	0	0	1
2	0	0	0	0	1
3	0	0	0	1	0
4	0	0	0	0	1
5	0	0	1	0	0

代码

void join (int u,int v) {//从u指向v
    adj[u][v] = 1;
}

时间、空间复杂度

查询是否存在某条边：O(1)
遍历一个点的所有出边：O(n)
遍历整张图：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

优点

最显著的优点是可以 O(1) 查询一条边是否存在。

邻接表

思路

v1		2		5		null
v2		5		null
v3		4		null
v4		5		null
v5		3		null

代码

struct num {//from 起点，to终点，val权值，next就是指向下一个边
	int from,to,val,next;
};
num  _v[maxm]; 
int head[maxn],cnt;// head数组和cnt就是记录与一个头结点相连的结点的个数
void add (int u,int v,int w) { 
	num e;
	e.from = u;
	e.to = v;
	e.val = w;
	e.to = head[u]; 
	_v[cnt] = e;      
	head[u] = cnt++;     
}

时间、空间复杂度

查询是否存在 u 到 v 的边：O(d^+(u))（如果事先进行了排序就可以使用 二分查找 做到 O(\log(d^+(u)))）
遍历点 u 的所有出边：O(d^+(u))
遍历整张图：O(n+m)
空间复杂度：O(m)

优点

适用于需要对一个点的所有出边进行排序的场合

欧拉路

欧拉路的定义：对于一个图，如果按一笔画小游戏的规则画完，那么这个图是一个欧拉路，如果起点和终点相同，那么这被称为欧拉回路
欧拉路

欧拉回路

无向图实现

思路

1.使用邻接矩阵存储
2.单独开数组du[i]记录结点i连边数
3.单独开数组c记录欧拉路上的点

有向图实现

思路

思路和无向图实现差不多
只是要把出度记为1，入度记为-1
欧拉路存在时起点等于1，终点等于-1
欧拉回路存在是所有点等于0

完结撒花

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小编蒟蒻一个，有什么问题请大佬不惜赐教Orz