并查集知识梳理
并查集
这一章中用到里树的基础知识，不懂的朋友看这里
并查集的定义
- 并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。
- 并查集通常包含两种操作：
查找(Find)：查询两个元素是否在同一个集合中
合并(Union)：把两个不相交的集合合并为一个集合 - 组词解释法：并：合并，查：查找，集：集合。连成一句话来说就是用来合并、查找的集合
并查集的思想
开始所有点上级都为它本身
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上级 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
把2，3合并到0(树1)，
把4，5合并到1(树2)
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上级 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
把1合并到0（合并树1，树2）
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上级 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
朴素并查集的代码
（1）初始化
int parent[105];//记录自己的上级
void init(int n) {
for(int i = 0;i < n;i ++) {
parent[i] = i;//将自己的上级赋值为自己
}
}
现在所有点上级都为它本身
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上级 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
（2）查找
int find(int x) {
if(parent[x] == x) {//判断自己是不是自己的上级
return x;
} else {
return find(parent[x]);//如果不是，查找自己上级的上级
}
}
查找时要一层一层的访问自己的上级，自己到自己是自己的上级为止
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上级 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
举例：访问4的上级
路径：4->1,1->0
（3）合并
//把j合并到i中去
void merge(int i,int j) {
parent[find(j)]=find(i);//把j的上级设为i的上级
}
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上级 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 下标 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 上级 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
将1合并到0
学到这里我们来看一看擒贼先擒王(记得先动手自己做）
路径压缩
作用:
提高并查集效率
举一个极端的例子：
假设我们一共有1e9个点，如图一直排列下去
那么我们查找就需要o(n)的复杂度（就会爆炸）
但办法是人想出来的，记住并查集是一个树形结构，然后就有了下图的优化
这样一来时间复杂度就只有o(logn)了（十分的诱人呢）
接下来是上代码时间
（1）查找代码
版本一：
int find (int x) {
if (parent[x] == x) {
return x;
} else {
parent[x] = find(parent[x]);
return parent[x];
}
}
版本二：
int find (int x) {
return x == parent[x] ? x : (parent[x] = find(parent[x]));
}
（2）路径压缩完整代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100;
int parent[MAXN];
void init (int n) {//初始化
for (int i = 1;i <= n;i ++){
parent[i] = i;
}
}
int find (int x) {//查找
if (parent[x] == x) {
return x;
} else {
parent[x] = find(parent[x]);
return parent[x];
}
}
void merge (int i,int j) {//合并
parent[j] = find(i);
}
int main() {
return 0;
}
按秩合并
思想
如果现在要合并两一棵树，那么我们应该怎么去合并最优呢？
是从右边到左边？还是从左边到右边？谁是合并后的根节点？
显然这种情况下，我们有两种合并方法：
方法一：
方法二：
我们通过路径压缩知道，深度越浅时间复杂度的上限越小
所以，明显方法二才是最优解
实现
（1）初始化
void init(int n) {
for(int i = 0;i < n;i ++) {
parent[i] = i;
rank[i] = 1;//rank用来记录深度，开始一为一棵树，所以赋值为1
}
}
（2）合并
void merge (int i,int j) {//合并
int x = find(i),y = find(j);
if(rank[x] < rank[y]) {//x作为根节点和y作为根节点的子树的深度比较
parent[x] = y;//小于则把x合并到y
} else {
parent[y] = x;//大于则把y合并到x
}
if(rank[x] == rank[y] && x != y) {
rank[x] ++;//如果两棵树深度相同，那么rank[x] + 1;
}
}
习题
「NOI2015」程序自动分析
「JSOI2008」星球大战
「NOI2001」食物链
「NOI2002」银河英雄传说
完结撒花
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小编蒟蒻一个，有什么问题请大佬不惜赐教Orz
