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积性函数: 积性函数定义ok 积性函数指对于 所有互质 的整数$a$和$b$有性质$f(ab)=f(a)f(b)$的数论函数 除数函数? 莫比乌斯函数$\mu$ok $$ \phi(i) = \begin{cases} 1, & i==1 \\ ( 1)^k, & i == \prod_{i=1}^ 阅读全文
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虚树学习笔记 概述 比如有这样一个问题: ([SDOI2011]消耗战) 你有一棵树, 1 为根, 有边权, 然后有 m 次询问, 每次给出 k 个点, 求这 k 个点都与 1 不想连, 最少需要断的边权和是多少? 注意 m 可能很大, 但是 $\sum k \le 5e5$ 于是需要尽量只用询问的 阅读全文
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LinkCutTree 学习笔记 参考来源 目的&作用 树的动态加边/删边 维护两点联通性, 树链信息, 生成树等 概述 应为无根树可以随意钦点树根, Splay 树也同样 所以下面的算法都基于从根连出去的树链形成的 Splay 树, 以及换根, 等等操作 然后实际上并不用建出原树, 所有的连边的关 阅读全文
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快速沃尔什变换FWT 概述 FFT 是加速这样的卷积 : $$ (A B)_i = \sum_{j + k = i} A_j \cdot B_k $$ 流程是这样的: 1. $A, B \Rightarrow FFT(A), FFT(B)$ (带入单位根) 2. $FFT(A) \cdot FFT( 阅读全文
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二项式定理 $$ (a + b) ^ n = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} \cdot a ^ {i} \cdot b ^ {n i} $$ 证明： 有 $n$ 项 $(a + b)$, 考虑对于最终 $a ^ k \cdot b ^ {n k}$ 的贡献： 每一项选 $a$ 阅读全文
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以前一直以为像 treap 的 merge 一样的, 从来没写过 突然发现处理树上问题的复杂度不会证 概述 就是很朴素的递归合并 分析这段代码, 容易得到, 一次合并两棵线段树的复杂度即为这个函数经过的节点数, 也就是两棵线段树重合的节点数 那么有这样一个问题: 树上有点权, 你需要给每个点开一个线 阅读全文
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线性基 性质 原数集中的数都可以由线性基中的一些数异或得到 原数集中的数字异或出来的值域与线性基中的元素异或出来的值域相等 任取若干个原数集的数, 把他们写成线性基中元素 XOR 的形式, 然后再异或起来, 显然线性基中元素剩下 0/1 个 线性基中的每个元素的二进制最高位均不同 构造 a XOR 阅读全文
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卷积 现有两个定义在 N 上的函数 $f(n),g(n)$，定义 $f$ 和 $g$ 的卷积（convolution）为 $f \otimes g$ $$ (f \otimes g)(n) = \sum_{i=0}^n f(i)g(n i) $$ 示意图: from http://blog.misk 阅读全文
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斜率优化 2 种方法 比如这个式子: (from [HNOI2008]玩具装箱TOY) $$ f[i] = \min\{ f[j] + (sum[i] + i sum[j] j L 1) ^ 2 \} $$ 大概有两种方法: 1. 考虑 $i, j$ 的关系, 将分别只和 $i, j$ 有关的式子分 阅读全文