ST 表（Sparse Table，稀疏表）初步

定义

ST 表（Sparse Table，稀疏表）是用于解决可重复贡献问题的数据结构。其主要用于 RMQ$^{*}$ 问题。

$^{*}$：RMQ 是 Range Maximum/Minimum Query 的缩写，表示区间最大（最小）值。

思路

设 $st_{l,x}$ 为区间 $[l, l + 2^x - i]$ 中的最大值。

即有 $st{l,0} = a_l$。

其余 $st{i,j} = \max(st_{i,j−1}, st{i+2^{j-1},j−1})$。

实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, st[100005][25];
inline int read(){ // 快读
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){
        if (ch == '-') f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){
        x = x * 10 + ch - 48;
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
inline void write(int x){ // 快写
    if(x > 9) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
}
inline int pow2(int x){//2^x
    return 1 << x;
}
int main(){
    n = read();
    m = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) st[i][0] = read();
    for(int i = 1; pow2(i) <= n; i++){
        for(int l = 1; l <= n; l++){
            int r = l + pow2(i) - 1;
            if(r <= n)
                st[l][i] = max(st[l][i - 1], st[l + pow2(i - 1)][i - 1]);
        }
    }
    while(m--){
        int l = read(), r = read();
        int k = log2(r - l + 1);
        write(max(st[l][k], st[r - pow2(k) + 1][k]));//O(1) 查询
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}

优劣

像所有的数据结构一样，ST 表亦有它的优与缺。

优势

• 除 RMQ 以外，还有其它的可重复贡献问题。如区间按位和、区间最大公因数等均可用 ST 表实现维护。

• 时间复杂度较低，码量相对于其他算法较小。查询的时间复杂度可至 $O(1)$。

劣势

• 不支持区间修改，也无法很好地应用于其他问题。

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