Ti毫米波学习笔记---测角

前言

​ 前几篇笔记，我们已经介绍了沿速度和距离两个维度进行感应，本篇文章介绍沿着雷达第三个维度角度进行分析。在说明角度测量原理之前，我们先提出几个问题？

• How does the radar estimate the angle of arrrival of an object in the front of the radar？在雷达前方存在一个物体，雷达是如何估算物体的到达角？物体的模型如下图所示。

• ​ What if there are multiple object at different angles? 在不同的角度存在多个物体，但可能具有相同的距离和相同的相对速度，会怎么样？

• What determines the maximum field of view？ 雷达的最大可测范围角是多少？由什么决定了？

到达角测量基础

​ 回忆之前的笔记，我们在讨论雷达测速原理时，得出一个重要的结论：中频信号的相位对物体的距离的微小变化十分敏感。当距离变换$\mathrm{\Delta }d$时 $\omega =\frac{4\pi \mathrm{\Delta }d}{\lambda }$，角度估算利用相同的原理，角度估算需要至少2个RX天线。这里是利用物体相对于雷达天线的差分距离，过程如下图所示。由于接受天线存在一个距离，所以接收信号到达雷达的 距离存在一个$\mathrm{\Delta }d$的差异，所以两个天线之间的中频信号的相位差为$\omega =\frac{2\pi \mathrm{\Delta }d}{\lambda }$，至于为什么分子的系数为2而不是4，那是因为只有发射回来的单程路径存在一个$\mathrm{\Delta }d$的距离差。

​ 那这个距离和物体于雷达的角度存在什么样的关系？我们将雷达和物体的角度关系和变化的距离关系画出，如下图所示。在下图我们是假设雷达之间的距离为$d$，则接受信号到达雷达的两个接受天线的距离差公式为$dsin(\theta )=>\theta =si{n}^{-1}(\frac{\lambda \omega }{2\pi d})$。

在数据上我们天线1的中频信号做2D-FFT处理和天线2的中频信号做2D-FFT处理对比相同位置的谱峰的相位差。

​ 下面我们分析角度的测量公式$\omega =\frac{2\pi \mathrm{\Delta }d}{\lambda }$，可以很明显的知道，两个天线的对应谱峰的相位差和物体的雷达不是线性关系，$\omega$和$\theta$的关系如下图所示，我们回想一下，在测速笔记中，相位和物体的速度是线性关系的，在测距笔记中频信号的频率和距离是线性关系，而在测角中相位和角度不是线性关系而是$sin(\theta )$的关系。在$\theta$接近于0时，$sin(\theta )$对$\theta$十分的敏感，而$\theta$接近90°时，$sin(\theta )$对$\theta$的变化非常不敏感。这说明，当物体在雷达正前方时，物体对雷达的角度测量效果十分好，但是当物体逐渐增加并且接近90°，当然由于噪声，估算角度的准确性会下降。

​ 在测速那个笔记中，我们计算出雷达的速度存在一个最大不模糊的速度，那么雷达的角度测量是否也相同存在一个最大不模糊的角度了？和计算最大不模糊速度相同。不模糊的最大相位差$|\omega |<180°$，所以$\omega =\frac{2\pi \mathrm{\Delta }d}{\lambda }<\pi$

$\theta <si{n}^{-1}(\frac{\lambda }{2d})$ ,所以最大不模糊角度取决于接收天线之间的距离。

​ 现在思考一个问题，如果在雷达前方存在两个物体，两个物体离雷达的距离相同并且速度也相同。上诉的方法还可以识别出两个物体的角度吗？ 答案是否定的，对于两个天线而言，只能区分一个距离一个速度的上的一个物体角度，如果需要同一距离同一速度上的不同的角度则需要大于2的接收天线。

角度分辨率

​ 角度分辨率的定义:两个物体的到底角分别位于$\theta$和$\theta +\mathrm{\Delta }\theta$，那么当两个物体的角度差差异多少时，可以将两个物体的角度在角度FFT的谱峰中区分的出来，这就是角度分辨率的定义。

​ 在之前的分析中，我们有一个结论，到达角为$\theta$的物体具有离散频率$\omega$，它为$\frac{2\pi sin(\theta )}{\lambda }$并且$\omega >\frac{2\pi }{N}$，$N$为FFT中的采样的样本数，所以我们可以进行如下的推导。

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }w=\frac{2\pi d}{\lambda }(sin(\theta +\mathrm{\Delta }\theta )-sin(\theta ))\\ & \mathrm{为}\mathrm{了}\mathrm{化}\mathrm{简}\mathrm{公}\mathrm{式}，\mathrm{利}\mathrm{用}\frac{sin(\theta -\mathrm{\Delta }\theta )}{\mathrm{\Delta }\theta }=cos(\theta )\\ & \mathrm{化}\mathrm{简}\mathrm{后}\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{\Delta }w=\frac{2\pi d}{\lambda }(sin(\theta +\mathrm{\Delta }\theta )-sin(\theta ))\approx \frac{2\pi d}{\lambda }cos(\theta )\mathrm{\Delta }\theta \\ & \mathrm{\Delta }w>\frac{2\pi }{N}\\ & \frac{2\pi d}{\lambda }cos(\theta )\mathrm{\Delta }\theta >\frac{2\pi }{N}\\ & \mathrm{\Delta }\theta >\frac{\lambda }{Ndcos(\theta )}\end{array}$$

​ 其中$N$是天线的数量，$d$是两个连续天线之间的距离，所以在上面的推导的公式可以得到${\theta }_{res}=\frac{\lambda }{Ndcos(\theta )}$，实际中天线和天线之间的距离为$\frac{\lambda }{2}$而$\theta =0$，所以角度分辨率为${\theta }_{res}=\frac{2}{N}$ ,需要注意的一点是，这里的单位是弧度制。

​ 现在分析一下角度分辨率$\mathrm{\Delta }\theta >\frac{\lambda }{Ndcos(\theta )}$，在之前的笔记中，速度分辨和距离分辨率都是独立于速度和距离的变量。但是角度分辨率根据公式而言发现其和当前物体的角度是存在关系。其本质的原因在于$sin(\theta )$的不一致。所有对由$\theta$分隔的两个物体，其在角度FFT中的叫频率在$\theta$等于0，离的更远而随着角度的增加，两物体的角频率越来越近。如下图红色和蓝色两个物体，在$\theta =0$处，两者角度差为$\theta$,经过FFT后的角频率差的比较大，随着角度的移动，相同角度差$\theta$，两者的角频率差越来越小。

​ 下图是角度估算的过程。对于多个不同天线得到的信号进行速度FFT结果，然后在这些相同的2D-FFT谱峰进行FFT得到角度FFT，而角度FFT的谱峰就可以得到到达角。