网络流的一些经典问题

涂色问题：

问题：给出一个\(n*m\)的矩阵（\(n,m\leq30\)），每个格子都要求涂上一种颜色，且每个格子不能被涂两次以上（每次都是相同颜色则可以），涂同一行或列连续的一些格子涂色的代价分别为\(a\)，\(b\)，单独涂一个格子的代价为\(c\)，求将整个矩阵涂至目标状态的最小代价和。

解析：我们先预处理出每行和每列相同颜色连续的“颜色条”，那么每个格子都仅属于一个行颜色条和列颜色条，设它对应的行、列颜色条序号为\(h_i，v_j\)，那么我们连边 \(S\) ->\(h_i\) -> \(v_i\) -> $T $ ，代价分别为\(a，c，b\)，在这个图上求出最大流，因为对于任意一个这样的链，它的上面一定存在一个割，所以最小割即是答案。

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狼与羊的故事（BZOJ 1412）

问题：给出一个\(n*m\)的矩阵，每个格子可以是狼的领地，羊的领地或空地，现要求最短的篱笆（即覆盖一个格子的一条边），使得狼羊领地分离。

解析：我们可以把它按图中所示转化为最小割问题，每个格子向周围四格连容量为1的边，对于每条狼 -> 羊的路径上一定有一条割。

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公平分配问题（LA 3231）

问题：现在有\(n\)个任务和\(m\)个处理器，每个任务给出两个不同的候选处理器，可在两者之间任选其一完成任务，求完成所有任务时单个处理器处理任务最大值的最小值

解析：二分答案\(p\)，对于每次查询，构建二分图，\(S\)向所有任务连一条容量为1的边（表示任务），每个任务向两个处理器结点连边，容量为1，每个处理器结点向\(T\)连边，容量为\(p\)（表示处理的任务数不能超过\(p\)），如果当前最大流等于任务数说明有解，反之无解。

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最小覆盖问题——行列模型（POJ 3041）

问题：有一个\(n*m\)的矩阵，\(K\)个格子上存在《经典题选》，每一次可以选择矩阵的一行或一列，烧掉这一行或这一列上所有的题选，求烧掉所有题选的最小操作数。

解析：令行为X集，列为Y集，若\((r,c)\)上存在题选则连边\(r ->ｃ\)，那么对于任意这样的一条边，两端必须有一个节点被选中，即最小顶点覆盖 （= 最大匹配 ）

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