范德蒙德卷积
形式：
\[\large\sum\limits_{i=0}^kC_n^{k-i}C_m^i=C_{n+m}^k
\]
证明：
\[\large(a+b)^n(a+b)^m=(a+b)^{m+n}
\]
\[\large\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i\sum\limits_{j=0}^mC_m^j=\sum\limits_{k=0}^{n+m}C_{n+m}^k
\]
\[\large\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^mC_n^iC_m^j=\sum\limits_{k=0}^{n+m}C_{n+m}^k
\]
令 \(k=i+j\)，转而枚举 \(k\)。
\[\large\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^mC_n^iC_m^j=\sum\limits_{k=0}^{n+m}\sum\limits_{j=0}^{min(m, k)}C_n^{k-j}C_m^j
\]
所以就有：
\[\large\sum\limits_{k=0}^{n+m}\sum\limits_{j=0}^{min(m, k)}C_n^{k-j}C_m^j=\sum\limits_{k=0}^{n+m}C_{n+m}^k
\]
外层\(\sum\) 长一样，直接去掉。
\[\large\sum\limits_{j=0}^{k}C_n^{k-j}C_m^j=C_{n+m}^k
\]
得证。
CF785D
