【HDU 5382】 GCD?LCM! （数论、积性函数）

GCD?LCM!

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Output

T lines, find S(n) mod 258280327.

Sample Input

8 1 2 3 4 10 100 233 11037

Sample Output

1 5 13 26 289 296582 3928449 213582482

Author

SXYZ

Source

2015 Multi-University Training Contest 8

 

 

【分析】

　　这题好神啊。。。又涨姿势了。。

　　$$f(n)=\sum\sum [lcm(i,j)+gcd(i,j)>=n]$$

　　$$=\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[d+i'*j'*d>=n]$$

　　$$=\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[(i'*j'+1)*d>=n]$$

　　$$=\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[(i'*j'+1)*d>=n-1]-\sum_{i'}\sum_{j'}\sum_{d}[(i'*j'+1)*d==n-1]$$

　　设$G(n)=\sum_{d|n}[gcd(d,\dfrac{n}{d})==1]$

　　则

　　$f(n)=f(n-1)-\sum_{d} G(\dfrac{n-1}{d}-1)+(2*n-1)$【后面加的是要注意i和j的范围！！！】

　　$G$G是积性函数，且$G(p^k)=2$

　　则可以$O(n)$筛出来。。

　　然后f前面的累加，后面的nlogn处理。

　　然后再累加即可。

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define Maxn 1000010
#define Mod 258280327

int pri[Maxn],pl,g[Maxn],t[Maxn],f[Maxn];
bool vis[Maxn];

void init()
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    pl=0;g[1]=1;
    for(int i=2;i<=Maxn-10;i++)
    {
        if(!vis[i]) pri[++pl]=i,g[i]=2;
        for(int j=1;j<=pl;j++)
        {
            if(pri[j]*i>Maxn-10) break;
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) g[i*pri[j]]=g[i];
            else g[i*pri[j]]=2*g[i]%Mod;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
    for(int i=1;i<=Maxn-10;i++)
    {
        for(int j=i;j<=Maxn-10;j+=i)
        {
            t[j]=(t[j]+g[j/i-1])%Mod;
        }
    }
    for(int i=1;i<=Maxn-10;i++) f[i]=(f[i-1]+(2*i-1)-t[i-1])%Mod;
    for(int i=1;i<=Maxn-10;i++) f[i]=((f[i]+f[i-1])%Mod+Mod)%Mod;
}

int main()
{
    init();
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        int n;
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",f[n]);
    }
    return 0;
}

【有一点点容斥的东东在么？】

 

2017-04-27 15:28:52