【BZOJ 2323】 2323: [ZJOI2011]细胞 （DP+矩阵乘法+快速幂*）
2323: [ZJOI2011]细胞
Description
2222年，人类在银河系外的某颗星球上发现了生命，并且携带了一个细胞回到了地球。经过反复研究，人类已经完全掌握了这类细胞的发展规律：
这种细胞最初的形态是“长条形”，一端是头，一端是尾，中间是躯干。细胞内部含有一列密码（你可以认为它是这种细胞的DNA）。密码是一个长度为n的数字串，且仅含有1~9这9种数字，沿着细胞的躯干从头到尾排列着。
首先，细胞会经历一次分裂。细胞将沿躯干方向分裂成若干个球体，躯干将退化成丝状物，连接着相邻的球体。在分裂过程中，质量是均匀分布的。换句话说，若分裂成k个球体，每个球体的质量为原来的1/k。然而，密码的分布是不确定的。若分割成k个球体，密码会被切割成k段（每段长度至少为1），并按从头到尾的顺序分布在各个球体中。如图，为其中一种合法的一次分裂：
接下来，细胞会经历二次分裂。对于每个球体，其中会含有一小段密码（注意他是有序的），我们把它看作一个十进制的数T。这个球体会被分割成T个小球体，并排成一排，之间用躯干退化成的丝状物相连接，并且质量仍然是均匀分布的，每个小球体的质量都是原球体的1/T。至此，密码已经发挥了它的作用，便消失了。如图，为二次分裂：
最后，细胞会进行变异。相邻小球体之间的丝状物可能会退化掉，这两个小球体便会以相切的方式直接连接。显然，二次分裂后，除两端外的每个小球体都有两段丝状物与其连接（头尾两端的小球体只有一段丝状物与其相连）。对于每个小球体，必须至少退化一段与其相连的丝状物，否则这个结构不稳定，会继续变异。如图，为一种稳定的变异：
现在，我们想知道，对于一个给定密码的细胞，总共有多少种稳定的结构。两种结构被认为相同，当且仅当他们拥有相同个数的小球体，从头到尾每个小球体的质量相同，并且从头到尾每对相邻小球体之间的连接方式相同（都是通过丝状物相连或都是通过相切直接相连）。你只需要回答这个结果 mod 1000000007即可。
Input
第一行为一个正整数n，表示细胞密码的长度。
第二行共n个数字，为给定的细胞密码，中间没有空格。
Output
只包含一个整数，为细胞的种数 mod 1000000007的结果。
Sample Input
【样例输入一】
1
1
【样例输入二】
1
5
【样例输入三】
2
11
Sample Output
【样例输出一】
0
【样例输出二】
3
【样例输出三】
56
HINT
【数据规模】
对于5%的数据满足，n ≤ 6；
对于25%的数据满足，n ≤ 25；
对于60%的数据满足，n ≤ 100；
对于70%的数据满足，n ≤ 300；
对于100%的数据满足，n ≤ 1 000。
Source
【分析】
好题？
感谢数学试卷让我发现了这个可爱的斐波那契数列。。【hhh
然后【矩阵的指数不能mod phi[p]? 。。被奥爷爷d了。。。。
首先，第一步或第三步不同，则出来的结果一定不同【自己想为什么吧、、我就是这样觉得的
对于第三步，他说一个球两边一定有一边被缩了，其实就是n条边，让你选若干条不缩的边，他们不相邻（因为两端的点是有一条边，所以两端的边是不能选的）
这个模型就是数学试卷上的经典模型？f[n]=f[n-1]+f[n-2]，就是枚举第n个选还是不选，就是斐波那契数列。
第三步的判断就搞定了。
对于第一第二步，就是把这个大数字分成很多部分，套上第三步的方案加入答案中，这个可以用DP处理。
f[x][0]表示x前面那条边没有选，
f[x][1]表示x前面那条边选了。
f[i][0]=f[i][0]+f[j][0]*F[nw-3]+f[j][1]*F[nw-2]
f[i][1]=f[i][1]+f[j][0]*F[nw-2]+f[j][1]*F[nw-1]
//F表示斐波那契数列， nw表示j+1~i表示的数。
然后问题来了，F[nw???]怎么求，nw是个极大的数额。。
【一开始我以为矩阵幂的指数可以mod phi 还乐呵呵地打了。。。
其实可以预处理，但是传统的快速幂的话，貌似，挺慢？？而且你要高精？？
传统的快速幂是以2为底的快速幂，他给你的高精数是10进制下的，不如把快速幂改成10为底的，那么你可以发现，有些过程可以合并，比如你算[l,r]的f，中间已经算了[l,r-1]的部分。
所以预处理就是O（n^2*一个不知道多大的常数）
好像别人打的都挺快的。。。可以看看其他解法：http://www.cnblogs.com/cghAndy/p/6594538.html
总时间复杂度：O（n^2*一个不知道多大的常数）
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 using namespace std; 7 #define LL long long 8 #define Mod 1000000007 9 #define Maxn 1010 10 11 int n; 12 13 struct node 14 { 15 LL w[3][3]; 16 }t[17],tt[3]; 17 18 LL a[Maxn],f[Maxn][2]; 19 char s[Maxn]; 20 21 void mul(int z,int x,int y) 22 { 23 t[2]=tt[0]; 24 for(int k=1;k<=2;k++) 25 for(int i=1;i<=2;i++) 26 for(int j=1;j<=2;j++) 27 t[2].w[i][j]=(t[2].w[i][j]+t[x].w[i][k]*t[y].w[k][j])%Mod; 28 t[z]=t[2]; 29 } 30 31 void qpow(int x,int b) 32 { 33 t[1]=tt[1]; 34 while(b) 35 { 36 if(b&1) mul(1,x,1); 37 mul(x,x,x); 38 b>>=1; 39 } 40 t[x]=t[1]; 41 } 42 43 LL B[Maxn][Maxn][3]; 44 45 LL get_f(int x) 46 { 47 t[3]=tt[2]; 48 t[4]=tt[1]; 49 for(int i=x;i<=n;i++) 50 { 51 qpow(4,10); 52 t[0]=t[3]; 53 qpow(0,a[i]); 54 // mul(4,a[i]-10,4); 55 56 t[5]=t[4]; 57 B[x][i][0]=t[5].w[1][1]; 58 mul(5,5,3); 59 B[x][i][1]=t[5].w[1][1]; 60 mul(5,5,3); 61 B[x][i][2]=t[5].w[1][1]; 62 } 63 } 64 65 void init() 66 { 67 tt[0].w[1][1]=0;tt[0].w[1][2]=0; 68 tt[0].w[2][1]=0;tt[0].w[2][2]=0; 69 70 tt[1].w[1][1]=1;tt[1].w[1][2]=0; 71 tt[1].w[2][1]=0;tt[1].w[2][2]=1; 72 73 tt[2].w[1][1]=0;tt[2].w[1][2]=1; 74 tt[2].w[2][1]=1;tt[2].w[2][2]=1; 75 76 t[11]=tt[1];t[5]=tt[1]; 77 for(int i=2;i<=9;i++) 78 { 79 mul(i,i-1,5); 80 } 81 } 82 83 int main() 84 { 85 init(); 86 scanf("%d",&n); 87 scanf("%s",s+1); 88 for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=s[i]-'0'; 89 90 memset(f,0,sizeof(f)); 91 f[0][0]=1; 92 93 int i,j,k; 94 for(i=1;i<=n;i++) get_f(i); 95 96 for(i=1;i<=n;i++) 97 for(j=0;j<i;j++) 98 { 99 f[i][0]=f[i][0]+f[j][0]*B[j+1][i][0];f[i][0]%=Mod; 100 f[i][0]=f[i][0]+f[j][1]*B[j+1][i][1];f[i][0]%=Mod; 101 f[i][1]=f[i][1]+f[j][0]*B[j+1][i][1];f[i][1]%=Mod; 102 f[i][1]=f[i][1]+f[j][1]*B[j+1][i][2];f[i][1]%=Mod; 103 104 } 105 printf("%d\n",f[n][0]); 106 return 0; 107 }
2017-03-21 21:16:25
