【BZOJ 1096】 [ZJOI2007]仓库建设 (斜率优化)
1096: [ZJOI2007]仓库建设
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L公司有N个工厂,由高到底分布在一座山上。如图所示,工厂1在山顶,工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区(干燥少雨),L公司一般把产品直接堆放在露天,以节省费用。突然有一天,L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话,被告知三天之后将有一场暴雨,于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同,在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件,在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂,其产品应被运往其他的仓库进行储藏,而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N,故产品只能往山下运(即只能运往编号更大的工厂的仓库),当然运送产品也是需要费用的,
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的,可以容下所有的产品。你将得到
以下数据:1:工厂i距离工厂1的距离Xi(其中X1=0);2:工厂i目前已有成品数量Pi;:3:在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案,使得总的费用(建造费用+运输费用)最小。Input
第一行包含一个整数N,表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。
Output
仅包含一个整数,为可以找到最优方案的费用。
Sample Input
3
0 5 10
5 3 100
9 6 10Sample Output
32HINT
在工厂1和工厂3建立仓库,建立费用为10+10=20,运输费用为(9-5)*3 = 12,总费用32。如果仅在工厂3建立仓库,建立费用为10,运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57,总费用67,不如前者优。
【数据规模】
对于100%的数据, N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内,保证中间计算结果不超过64位带符号整数。
【分析】
截距式的斜率优化虽然好想,但是真的推导过程总是各种错TAT
for i 1~n
f[i]=f[j]+p[k]*(x[k]-x[j]) +c[i](i<k<=j) [f(i)表示在i处建站,枚举上一个建站位置j
设s1[i]=sigma(p[1~i]) s2[i]=sigma(-p[1~i]*x[1~i])
得 f[i]=-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j]+f[j] - s2[i]+x[i]
斜率s1[i]单调递减,维护一个下凸包即可。
代码如下:
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<cstring> 4 #include<iostream> 5 #include<algorithm> 6 #include<queue> 7 #include<cmath> 8 using namespace std; 9 #define Maxn 1000010 10 #define LL long long 11 12 // LL x[Maxn],p[Maxn],c[Maxn]; 13 LL s1[Maxn],s2[Maxn],f[Maxn]; 14 15 struct hp 16 { 17 LL x,p,c; 18 }d[Maxn]; 19 20 struct node 21 { 22 LL x,y; 23 }t[Maxn];LL cnt; 24 LL n; 25 26 bool cmp(hp x,hp y) {return x.x<y.x;} 27 LL mymin(LL x,LL y) {return x<y?x:y;} 28 29 void init() 30 { 31 scanf("%lld",&n); 32 for(LL i=1;i<=n;i++) 33 { 34 scanf("%lld%lld%lld",&d[i].x,&d[i].p,&d[i].c); 35 } 36 // sort(d+1,d+1+n,cmp); 37 s2[0]=0;s1[0]=0; 38 for(LL i=1;i<=n;i++) 39 { 40 s1[i]=s1[i-1]+d[i].p; 41 s2[i]=s2[i-1]-d[i].p*d[i].x; 42 } 43 } 44 45 bool check(LL x,LL y,LL k) 46 { 47 return (t[y].y-t[x].y)<=k*(t[y].x-t[x].x); 48 } 49 50 bool check2(LL x,LL y,LL z) 51 { 52 return (t[x].y-t[z].y)*(t[x].x-t[y].x)<=(t[x].x-t[z].x)*(t[x].y-t[y].y); 53 } 54 55 void ffind() 56 { 57 LL cnt=0,st; 58 f[n]=d[n].c; 59 t[++cnt].x=d[n].x;t[cnt].y=s1[n]*d[n].x+s2[n]+f[n];st=1; 60 LL ans=t[1].y; 61 for(LL i=n-1;i>=1;i--) 62 { 63 while(st<cnt&&check(st,st+1,s1[i])) st++; 64 f[i]=-s1[i]*t[st].x+t[st].y-s2[i]+d[i].c; 65 //-s1[i]*x[j]+ s1[j]*x[j]+s2[j] - s2[i] 66 t[0].x=d[i].x;t[0].y=s1[i]*d[i].x+s2[i]+f[i]; 67 while(st<cnt&&check2(cnt,cnt-1,0)) cnt--; 68 t[++cnt]=t[0]; 69 ans=mymin(ans,t[cnt].y); 70 } 71 printf("%lld\n",ans); 72 } 73 74 int main() 75 { 76 init(); 77 ffind(); 78 return 0; 79 }
2016-09-18 13:17:39