【BZOJ 1010】 [HNOI2008]玩具装箱toy （斜率优化）

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

 

【分析】

 

　　   f[i]=f[j]+(i-(j+1)+sum[i]-sum[j]-l)^2

　　　　设d[i]=sum[i]+i,d[j]=sum[j]+j,L=l+1

　　得 f[i]=f[j]+(d[i]-d[j]-L)^2

　　　　=  (-2d[i]*d[j])+(f[j]+d[j]+2*d[j]*L)+(d[i]*d[i]-2*d[i]*L+L*L)

　　得出斜率优化标准式子，因为都是正数，d[i]递增，动态维护一个下凸包即可。

 

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
#define Maxn 50010
#define LL long long

LL c[Maxn],d[Maxn],f[Maxn];
struct node
{
    LL x,y;
}t[Maxn];int len;

LL n,l;

void init()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&l);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&c[i]);
        d[i]=d[i-1]+c[i]+1;
    }
    f[0]=0;d[0]=0;
    // f[1]=(c[1]-l)*(c[1]-l);
    l++;
}

bool check(int x,int y,LL k)
{
    return (t[y].y-t[x].y)<=k*(t[y].x-t[x].x);
}

bool check2(int x,int y,int z)
{
    return (t[z].y-t[y].y)*(t[y].x-t[x].x)<=(t[y].y-t[x].y)*(t[z].x-t[y].x);
}

void ffind()
{
    len=0;int st=1;
    t[++len].x=0,t[len].y=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(st<len&&check(st,st+1,2*d[i])) st++;
        f[i]=-2*d[i]*t[st].x+t[st].y+d[i]*d[i]-2*d[i]*l+l*l;
        t[0].x=d[i];t[0].y=f[i]+d[i]*d[i]+2*d[i]*l;
        while(st<len&&check2(len-1,len,0)) 
            len--;
        t[++len]=t[0];
    }
    // for(int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",f[i]);
    printf("%lld\n",f[n]);
}

int main()
{
    init();
    ffind();
    return 0;
}

 

2016-09-16 16:53:22