A——知识点 - 随笔分类 - 小蒟蒻laf

摘要：最大流 / 最小割 / 费用流一些定义流网络：

G = (V, E)

$G=(V,E)$ 一个连通图满足

| E | \geq | V | - 1

$|E|\ge |V|-1$ ，其中有源点

S

$S$ 汇点

T

$T$ 每一条边

(u, v)

$(u,v)$ 有一个非负容量

c (u, v) \geq 0

$c(u,v)\ge 0$ 流：边

(u, v)

$(u,v)$ 的流是一个函数

f (u, v)

$f(u,v)$ ， $\forall 阅读全文

posted @ 2023-03-19 13:12 小蒟蒻laf 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫队

摘要：莫队 ~~我非常喜欢暴力算法~~ 莫队最先由队长莫涛整理提出。是一种离线算法，处理区间询问。运用了分块的思想适用性广。各种大佬扩展出了一系列的莫队算法。复杂度分析玄学。在一些题正解难想、难写时，可考虑用莫队骗分，往往有意想不到的结果。普通莫队有两个指针

L, R

$L,R$ 表示当前维护 $[L,R] 阅读全文

posted @ 2022-08-17 14:46 小蒟蒻laf 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

后缀数组

摘要：后缀数组一些定义子串字符串

s

$s$ 中，截取任意

i \leq j

$i\le j$ 的一段就是

s

$s$ 的子串后缀后缀

i

$i$ 即

suffix (i)

$\text{suffix}(i)$ 表示从

i

$i$ 开始到结尾的子串后缀数组 sa

s a_{i}

$sa_i$ 表示排名为

i

$i$ 的后缀起始位置排名数组 rk

r k_{i}

$rk_i$ 表示后阅读全文

posted @ 2022-08-14 11:50 小蒟蒻laf 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

李超线段树

摘要：李超线段树也可以叫李超树，用于维护线段、直线，并求出最值，基于标记永久化通常李超树的题

x

$x$ 的范围可以接受标记永久化：省去 pushdown ，修改时一路更改被影响到的点，询问时一路累加路上的标记，在一些地方也能省去 pushup 维护直线 [JSOI2008]Blue Mary开公司阅读全文

posted @ 2022-08-12 21:30 小蒟蒻laf 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LCT

摘要：LCT 树链剖分常见的三种：重链、长链、轻实链。LCT 采用的是轻实链剖分。对于树上每一个点，将某一儿子作为实儿子，注意只有一个连向其的边设为实边，连向其他子树的边设为虚边。轻实边需要随着树形态的变化而改变 LCT 支持如下操作：维护数链信息换根联通性动态连边、删边有了实儿子，还有阅读全文

posted @ 2022-08-12 19:50 小蒟蒻laf 阅读(168) 评论(0) 推荐(1) 编辑

中国剩余定理

摘要：中国剩余定理求解模线性方程组。 $$ \begin{aligned} \left{ \begin{array}{l} x_1\equiv a_1\pmod{r_1} \ x_2\equiv a_2\pmod{r_2} \ \cdots\ x_k\equiv a_k\pmod{r_k} \ \end 阅读全文

posted @ 2022-08-08 21:46 小蒟蒻laf 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演

摘要：莫比乌斯反演莫比乌斯函数

μ (d)

$\mu(d)$ 本质上是一个经过总结规律得出的容斥系数、定义如下：

d = 1

$d=1$ 时，

μ (d) = 1

$\mu(d)=1$

d = \prod_{i = 1}^{k} p_{i}

$d=\prod_{i=1}^k p_i$ ，其中

p_{i}

$p_i$ 为互异素数，则

μ (d) = (- 1)^{k}

$\mu(d)=(-1)^k$ ，即质因数次数最大为 1 阅读全文

posted @ 2022-06-16 19:12 小蒟蒻laf 阅读(59) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论基础

摘要：数论基础艾佛森括号

[P] = {\begin{cases} 1 & P is true 0 & otherwise \end{cases}

$[P]=\begin{cases} 1& P\text{ is true}\ 0& \text{otherwise} \end{cases}$ 数论分块可以

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt n)$ 地求形如 $\sum_{i=1}^n f(i)g(\lfloor\dfrac{n} 阅读全文

posted @ 2022-06-04 22:04 小蒟蒻laf 阅读(93) 评论(0) 推荐(0) 编辑

切比雪夫距离

摘要：曼哈顿距离若点

A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})

$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 则两点间的曼哈顿距离为

| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |

$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$ 已知

n

$n$ 个点求两两之间的曼哈顿距离之和，易得

x

$x$ 的贡献与

y

$y$ 的贡献是分开的可以用两次排序去绝对值 + 前缀和解决复杂度

O (n \log n)

$O(n\log n)$ 阅读全文

posted @ 2022-04-07 20:55 小蒟蒻laf 阅读(285) 评论(0) 推荐(3) 编辑

Tarjan 连通性

摘要：Tarjan 连通性 Tarjan 爷爷的代表作，图的连通性问题直接解决两个核心数组：

d f n_{u}

$dfn_u$ ：

u

$u$ 的 dfs 序

l o w_{u}

$low_u$ ：

u

$u$ 及

u

$u$ 的后代通过返祖边能回到的最小的

d f n

$dfn$ 四种边树边：dfs 搜索树中的边返祖边：若在搜索树中，

i

$i$ 是

j

$j$ 的祖先，则阅读全文

posted @ 2022-03-20 10:05 小蒟蒻laf 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

【二分图】匈牙利 & KM

摘要：【二分图】匈牙利 & KM 二分图概念：一个图

G = (V, E)

$G=(V,E)$ 是无向图，如果顶点

V

$V$ 可以分成两个互不相交地子集

X, Y

$X,Y$ 且任意一条边的两个顶点一个在

X

$X$ 中，一个在

Y

$Y$ 中，则称

G

$G$ 是二分图性质：当且仅当无向图

G

$G$ 的所有环都是偶环时，

G

$G$ 才是个二分图阅读全文

posted @ 2022-03-20 09:07 小蒟蒻laf 阅读(78) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AC 自动机

摘要：AC 自动机 =

trie

$\text{trie}$ +

kmp

$\text{kmp}$ 的思想 AC 自动机问题：给定

n

$n$ 个模式串和一个文本串，问有多少个模式串出现在文本串中跑

n

$n$ 遍

kmp

$\text{kmp}$ ？若数据毒瘤会超时于是一些珂学家们发明了 AC 自动机 fail 假设模式串分别是阅读全文

posted @ 2021-06-07 20:42 小蒟蒻laf 阅读(75) 评论(0) 推荐(0) 编辑

向量初步

摘要：向量初步做凸包和一些 USACO 的题要用 Start 既有大小，又有方向的量，如速度表示方法：字母上加箭头

\vec{a}

$\overrightarrow{a}$ 若向量起点为

A

$A$ 终点为

B

$B$ 向量可表示为

\vec{A B}

$\overrightarrow{AB}$ 向量的大小：表示为 \(|\ov 阅读全文

posted @ 2021-05-12 17:32 小蒟蒻laf 阅读(392) 评论(0) 推荐(0) 编辑

分块

摘要：分块大家好，我非常喜欢暴力数据结构就是把数组分成

⌈ \sqrt{n} ⌉

$\lceil \sqrt n \rceil$ 块，每一块的长度最大是

⌊ \sqrt{n} ⌋

$\lfloor \sqrt n \rfloor$ 左端点是

L_{i}

$L_i$ ，右端点是

R_{i}

$R_i$ ，

i

$i$ 所在的块是

i d_{i}

$id_i$ 对于一个区间查询阅读全文

posted @ 2021-04-22 20:17 小蒟蒻laf 阅读(162) 评论(1) 推荐(2) 编辑

exgcd

摘要：作用求

a x + b y = gcd (a, b)

$ax+by=\gcd(a,b)$ 的一个解

x, y

$x,y$ 裴蜀定理又叫贝祖定理设

a, b

$a,b$ 是不全为零的整数，则存在整数

x, y

$x,y$ , 使得

a x + b y = gcd (a, b)

$ax+by=\gcd(a,b)$ 证明：通过解法可以证明解法 \[ \begin{aligned} ax+by &= 阅读全文

posted @ 2021-03-27 14:26 小蒟蒻laf 阅读(113) 评论(0) 推荐(0) 编辑

斜率优化 dp

摘要：特性：

dp

$\text{dp}$ 方程为

d p_{i} = {min}_{j = 1}^{i - 1} a_{i} * x (j) + b_{i} * y (j)

$dp_i=\min_{j=1}^{i-1}{a_i*x(j)+b_i*y(j)}$ ，其中

b

$b$ 严格单调递增

x (j), y (j)

$x(j),y(j)$ 都是能在常数时间通过

f_{j}

$f_j$ 唯一决定的二元组斜率优化以下内容转载于 Bill Yang's 阅读全文

posted @ 2021-03-10 20:05 小蒟蒻laf 阅读(86) 评论(0) 推荐(0) 编辑

高斯消元

摘要：高斯消元作用：把方程组化为上三角。类似下图

[\begin{matrix} a & a & a \\ 0 & a & a \\ 0 & 0 & a \end{matrix}]

$\left [ \begin{array}{} a & a & a \\ 0 & a & a \\ 0 & 0 & a \end{array}\right ]$ 退去华丽的外表，其实就是一个加减消元步骤：选择第

i

$i$ 项系数尽可能大的，对阅读全文

posted @ 2021-03-04 20:15 小蒟蒻laf 阅读(102) 评论(3) 推荐(0) 编辑

矩阵乘法优化递推

摘要：矩阵加减法对于矩阵

A \pm B = C

$A\pm B=C$ ，直接把每一个位置的两个元素相加或相减。要求：A 和 B 和 C 行列相同矩阵乘法如果 A 是个

n \times r

$n\times r$ 的矩阵、 B 是个

r \times m

$r\times m$ 的矩阵，则

A \times B = C

$A\times B=C$ 是个

n \times m

$n\times m$ 的矩阵（图片来自网络，侵删阅读全文

posted @ 2021-03-01 19:33 小蒟蒻laf 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Splay

摘要：前言 2020 年学的最后一个算法！然而到了现在才来填有的人说 Splay 常数大，还难打。但是这迟早是要学的：总会遇到 LCT 基本操作约定

c n t_{i}

$cnt_i$ ：节点

i

$i$ 重复的个数

v a l_{i}

$val_i$ ：节点

i

$i$ 的权值

s z_{i}

$sz_i$ ：节点

i

$i$ 的子树大小 \ 阅读全文

posted @ 2021-02-11 23:57 小蒟蒻laf 阅读(570) 评论(0) 推荐(3) 编辑

BSGS

摘要：前言 B（拔）S（山）G（盖）S（世），即 Baby Step Giant Step ，大步小步算法。用于解高次同余方程，形如

y^{x} \equiv z (\mod p)

$y^x\equiv z\pmod p$ ，求 x 的最小非负整数解普通 BSGS 当

gcd (y, p) = 1

$\gcd(y,p)=1$ 时，可以使用本算法将 x 表示为 \(a 阅读全文

posted @ 2021-02-10 22:59 小蒟蒻laf 阅读(130) 评论(0) 推荐(0) 编辑

小蒟蒻laf

漫漫 OI 路

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