【poj1830-开关问题】高斯消元求解异或方程组

第一道高斯消元题目~

题目：有N个相同的开关，每个开关都与某些开关有着联系，每当你打开或者关闭某个开关的时候，其他的与此开关相关联的开关也会相应地发生变化，即这些相联系的开关的状态如果原来为开就变为关，如果为关就变为开。你的目标是经过若干次开关操作后使得最后N个开关达到一个特定的状态。对于任意一个开关，最多只能进行一次开关操作。你的任务是，计算有多少种可以达到指定状态的方法。（不计开关操作的顺序）0<=N<=29

 

我们用样例来模拟一下：

我的高斯消元求解异或方程组模版：

 

int gauss()
{
    int i,j,k,l;
    //j=当前要消第几个元
    //i=当前消了几个元+1(n-i+1就是自由元个数),也就是当前j要处理的这个方程将要放在第i行，构成上三角矩阵。
    //i、j不等是因为有些元是自由元，不需要消,这些方程放到最后面（维护上三角矩阵）。
    for(i=1,j=1;i<=n && j<=n;j++)
    {
        for(k=j;k<=n;k++) 
            if(a[k][j]) break;//先找到一个这个元的系数不为0方程的换到第i行。
        if(a[k][j])
        {
            for(l=1;l<=n+1;l++) swap(a[i][l],a[k][l]);
            for(l=1;l<=n;l++)//注意这里从1开始，因为把最后回代的过程合并了
            {
                if(l!=i && a[l][j])//如果系数不为0才异或消元
                    for(k=1;k<=n+1;k++) 
                        a[l][k]^=a[i][k];
            }
            i++;
        }
    }        
    for(j=i;j<=n;j++)
        if(a[j][n+1]) return -1;
    return 1<<(n-i+1);
}

 

 

 

 

说一下解的个数问题：

对增广矩阵[A b]做初等行变换，化成阶梯形（高斯消元法），如果存在[0,0,…,0,1]的行，就是无解；如果存在r行[0,0,…,0,0]，就意味着有r个自由变量，因为这里的变量只取0/1，所以有2^r个解；如果不存在[0,0,…,0,*]，即把最后一行去掉后不存在全0行，则A为满秩矩阵，则方程组有唯一解。

 

代码：

 

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=35;
int n,bit[N],a[N][N];

void output()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n+1;j++) 
            printf("%d ",a[i][j]);
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}

int gauss()
{
    int i,j,k,l;
    //j=当前要消第几个元
    //i=当前消了几个元+1(n-i+1就是自由元个数),也就是当前j要处理的这个方程将要放在第i行，构成上三角矩阵。
    //i、j不等是因为有些元是自由元，不需要消,这些方程放到最后面（维护上三角矩阵）。
    for(i=1,j=1;i<=n && j<=n;j++)
    {
        for(k=j;k<=n;k++) 
            if(a[k][j]) break;//先找到一个这个元的系数不为0方程的换到第i行。
        if(a[k][j])
        {
            for(l=1;l<=n+1;l++) swap(a[i][l],a[k][l]);
            for(l=1;l<=n;l++)//注意这里从1开始，因为把最后回代的过程合并了
            {
                if(l!=i && a[l][j])//如果系数不为0才异或消元
                    for(k=1;k<=n+1;k++) 
                        a[l][k]^=a[i][k];
            }
            i++;
        }
    }        
    for(j=i;j<=n;j++)
        if(a[j][n+1]) return -1;
    return 1<<(n-i+1);
}

int main()
{
    int T,x,y;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(a,0,sizeof(a));
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i][n+1]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            a[i][n+1]^=x;
        }
        while(1)
        {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            if(!x && !y) break;
            a[y][x]=1;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) a[i][i]=1;
        int ans=gauss();
        if(ans==-1) printf("Oh,it's impossible~!!\n");
        else printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}