【lydsy1407】拓展欧几里得求解不定方程+同余方程

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1407

 

题意：

有n个野人，野人各自住在第c[i]个山洞中（山洞成环状），每年向前走p[i]个山洞，到这个山洞住下来。

每个野人的寿命为l[i]，问至少需要多少个山洞，才能让野人在有生之年永远不住在同一个山洞。

 

题解：

原本不会拓展欧几里得和同余方程，在这里尽量详细地写一下由这题学到的东西。

我原本是从网上看各类题解然后打的，因为不理解和某些题解上的错误，导致调了很久。

下面写我的题解，如有错误，敬请指出。

 

设山洞的数量为m。

首先，对于n=2时，若相遇，则得同余方程 c[i]+x*p[i] = c[j]+x*p[j] (mod m)

移项，得：(p[i]-p[j])*x=c[j]-c[i] (mod m)

即：(p[i]-p[j])*x + m*y = c[j]-c[i]

则由于p[i]-p[j]、m、c[j]-c[i]已知，该方程相当于 a*x+b*y=c，可用拓展欧几里得求解。

若该方程无解，或x小于l[i]且x小于l[j]（注意是并且的关系，因为一个死了一个活着也是不能相遇的）,则不会相遇。

 

所以，由于n<=15，可以从max(c[i])开始枚举m（因为开始时野人都不在同一个山洞，max(c[i])一定大于等于n），两两匹配，若都不能相遇，则当前的m值为最小整数解。

 

相关： 用拓展欧几里德算法求不定方程 a*x + b*y = c:

推荐一篇很好的博文：http://www.cnblogs.com/Rinyo/archive/2012/11/25/2787419.html

如果c不是gcd(a,b)的倍数，则该方程无解。

证明：

设g=gcd(a,b)，则a=a'g，b=b'g

ax+by=c可化为g(a'x+b'y)=c

由于g、(a'x+b'y)、c都是整数，所以c必然是g的倍数。

 

拓展欧几里得：

int exgcd(int a,int b)
{
    if (b == 0) { x=1,y=0; return a; }
    int t = exgcd (b,a%b,x,y);
    int x0 = x , y0 = y;
    x = y0; y = x0-(a/b)*y0;
    return t;
}

 

证明：

ax + by = gcd(a,b)

bx'+(a%b)y'=gcd(b,a%b)

因为gcd(a,b) = gcd(b,a%b)

所以ax+by = bx'+(a%b)y'

代入a%b =  a - ⌊a/b⌋*b (⌊⌋是向下取整符号)

ax + by = bx' + (a - ⌊a/b⌋*b)y'

ax + by = ay' + b(x'-⌊a/b⌋y')

所以： x = y'  y = x'-⌊a/b⌋*y'

回溯即可得出答案。

 

此处求出的x和y是一组可行解，可以利用通式 

x = x' + k*b

y = y'  - k*a

求出最小整数解。

 

注意：ax + by = c 求的是c是gcd(a,b)的倍数时的解。

方法一：

          方程两边同时除以g

          a'=a/g   b'=b/g   c'=c/g

          得a'x+b'y=c' 

          用拓展欧几里德算法求解a'x'+b'y'=1

          则 x = x'*c'  y = y'*c'

          这时，在用通式求最小整数解时加减的应是b'

方法二：

          我们可以直接求出ax’ + by’ =gcd(a,b)

          则 x = x'*c/g   y = y' * c/g

          这时应注意，在求通式求最小整数解加减的仍应是b/g。（注意！）

 

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int N=20,M=1000010;
int n;
int cc[N],p[N],l[N];

int maxx(int x,int y) {return x>y ? x:y;}
int minn(int x,int y) {return x<y ? x:y;}
int myabs(int x) {return x>0 ? x:-x;}

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0) {x=1,y=0;return ;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int x0=x,y0=y;
    x=y0;y=x0-(a/b)*y0;
    return ;
}

bool check(int m)
{
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            int a=p[i]-p[j];
            int b=m;
            int c=cc[j]-cc[i];
            
            int g=gcd(a,b);
            if(c%g) continue;
            a/=g;b/=g;c/=g;//b在此处可能变为负
            int x,y;
            exgcd(a,b,x,y);
            x=x*c;y=y*c;
            while(x>0) x-=myabs(b);
            while(x<=0) x+=myabs(b);
            if(x<=minn(l[i],l[j])) return 0;//
        }
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int mx=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&cc[i],&p[i],&l[i]);    
        mx=maxx(mx,cc[i]);        
    }
    for(int i=mx;i<=M;i++)
    {
        if(check(i)) {printf("%d\n",i);break;}
    }
    return 0;
}