【题解】P8255 [NOI Online 2022 普及组] 数学游戏（民间数据）

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题面

给你若干组 x,z ，其中\(z=x\times y\times \gcd(x,y)\) ，需要你求出最小的 y ，并支出哪些 z 有问题啊 。

其中 x,y,z 均为正整数

思路

首先，我们假设 \(\gcd(x,y)=d\) ，则\(x=pd,y=qd,\therefore z=pd \cdot qd \cdot d=pqd^3\) 。

那么，又由 z 的式子，易知 \(y=z \div x \div d\) ，而 y 是整数，所以中间任意一次除法 有问题(指除不尽) ，你都需要判出来 -1。

接下来，就要求 d 了。

d 是什么呢？

我们考虑一个性质：这时候， p 与 q 显然是互质的，而这就意味着 \(p^2\) 与 \(q\) 也是互质的！

那我们把它们都乘上 \(d^2\) ，就会得到 \(\gcd(p^2d^2,qd^2)=d^2\) 。

而我们发现，\(x^2=p^2d^2,\frac{z}{x}=qd^2\) 。

于是，\(d^2=\gcd(x^2,\frac{z}{x})\) ，也就是说，\(d=\sqrt{\gcd(x^2,\frac{z}{x})}\)（d肯定是正整数，所以负值当然要舍去）。

那么，由于 \(z \div x \div d\) 中任意一环下来都需要是整数，而 z 和 x 一定是整数，所以 d 也需要是整数。

这要求，\(\gcd(x^2,\frac{z}{x})\) 是完全平方数。

然后随便判判，有解输出就好啦~

代码

//吾日八省吾身：
//输入多而不快读乎？
//题目标注而不freopen乎？
//乘除并列先乘后除乎？
//不手撕样例直接写代码乎？
//不仔细读题直接关页面乎？
//1e9而不开long long乎？
//Ctrl+V而不改名称乎？（papaw->papan IMPLIES tg1=->2=）
//相信评测神机乎？
#include<iostream>
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#include<cstring>
#include<string>
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#include<ctime>
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#include<list>
#include<bitset>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll x,y,z;
ll T;
void R(ll &x){
	x=0;ll f=1;char c='c';
	while(c>'9'||c<'0'){
		f=f*(c=='-'?-1:1);
		c=getchar();
	}
	while(c<='9'&&c>='0'){
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	x=x*f;
	return;
} 
ll gcd(ll a,ll b){
	if(a%b==0) return b;
	else return gcd(b,a%b);
}
int main(){
	R(T);
	while(T--){
		R(x);R(z);
		if(z%x!=0){
			cout<<"-1"<<endl;
			continue;
		}
		ll fa=gcd(x*x,z/x);
		ll sq=sqrt(fa);
		if((sq*sq!=fa)||((z/x)%sq!=0)){
			cout<<"-1"<<endl;
			continue;
		}
		cout<<z/x/sq<<endl;
	}
	return 0;
}