【学习笔记】P7961 [NOIP2021] 数列

学习的是这篇优秀的题解（不）

学习的是这篇优秀的题解（是）

学习的是这篇优秀的题解（原）

学习的是这篇优秀的题解（创）

学习的是这篇优秀的题解（！）

题目传送门

20 pts

思路

爆搜，枚举每个数的每种取值。

复杂度 \(\Theta(m^n)\)

50 pts

思路

爆搜+记忆化

复杂度 \(\Theta(n^2 \times 2^m \times m)\)

正解

思路

思考一下，这道题最阴的地方在于什么？

在于进位！

赛场上，就是因为进位，我才甚至连一丁点部分分都不敢考虑（还是蒻诶，AFO了）

而我们知道，进位的原则是由低位向高位进位的，而不是反过来。

而这就是DPの无后效性的体现！

于是想到DP

最原始的状态为设置一个 \(DP(x,y)\) ，表示当前已经处理了 x 位，已经用了 y 个数的状态

很自然地，\(DP(x,y)=\sum\limits^{n-y}_{i=0}DP(x+1,y+i)\) ，其中 i 表示这一位上将放置 i 个 1。

这时候就会发现，对于进位问题还是没有任何进展。

但是，摊煎饼果子的过程（啊我只能想到这个）启发了我们（怎么启发？很简单，在考试的时候申请出去买一个（大雾）），因为毕竟DP一定会推到最后一位，所以可以统计堆积在某一位上的 1 的个数，在转移的时候进行处理。

于是，多了一个 b

更加自然地， \(DP(x,y,b)=\sum\limits^{n-y}_{i=0}DP(x+1,y+i,\left\lfloor\dfrac{b+i}{2}\right\rfloor)\)

为什么 b 这么转移呢？很简单，因为在原来堆积了 b 个数的基础上，又来了 i 个 1，而每两个 1 会进一位，所以就这么处理了。

不过，众所周知，不是只要搜到最后就是合法的，题目还有一个限制，叫作“二进制表示中 1 的个数不超过 k 时”

当然，大家肯定注意到了。前面用的是“b”。

那么“a”在哪里？

这个时候，我们就会愉快地思考怎样进行判断。

还是摊煎饼果子的过程启发了我们（真是实用呢），我们发现，以摊子（我也不知道这叫什么）为界，b 已经统计出了堆在摊子后面的糊糊（当然，还没有摊开，所以要自己写函数统计二进制中 1 的个数），而我们只需要一个 a 来统计一下前面已经摊开的 1 的数量即可。

最最自然地， \(DP(x,y,a,b)=\sum\limits^{n-y}_{i=0}DP(x+1,y+i,a+((b+i) \mod 2),\left\lfloor\dfrac{b+i}{2}\right\rfloor)\)

为什么 a 这么转移呢？更好理解，因为众所周知，你买的煎饼果子都是摊得不均匀的(b+i)在进位的时候，如果有偶数个1，一定会全部进位，不会产生更多贡献，反之则会产生 1 的贡献。

然后，复杂度是 \(\Theta(m \times n^4)\)

然后就没有然后了。