【学习笔记】2021.10.16 - zhengru IOI 七连测 Day7

T1 字符串

Subtask 1 60pts

思路

• 直接用 string 暴力模拟即可

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
string A,B,AU,BU;
int n,m,T,x;
long long maxsize;
inline bool doit(int xxx){
	if(maxsize>=xxx) return true;
	AU=A+B;
	BU=B+A;
	A=AU;
	B=BU;
	maxsize=A.length();
	if(maxsize>=xxx) return true;
	return false;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&T);
	cin>>A>>B;
	while(T--){
		scanf("%d",&x);
		while(!doit(x));
		printf("%c\n",A[x-1]);
	}
	return 0;
}

正解

思路

• 因为 \(A_0\) 和 \(B_0\) 的长度不定，所以选择 \(A_1\) 和 \(B_1\) 作为根元素来进行操作，因为它们的长度都是 n+m 。

• 所以，我们先考虑求出每一个 x 在 \(A_{935}\) 中属于第几个元素，显然是 \(\left\lfloor \frac{x-1}{n+m} \right\rfloor + 1\) （就是上取整呀）。

• 但是，怎么确定这个元素是 \(A_1\) 还是 \(B_1\) 呢？

• 从 0 开始编号，此时上文的编号变成\(\left\lfloor \frac{x-1}{n+m} \right\rfloor\)，记为 \(S\) ，不难证明如果 \((S)_2\) 中有奇数个 1 则为 \(B_1\) ，反之为 \(A_1\) 。

• 这个很好证明，因为每次操作都是把当前序列取反一下再放在后面，也就是每次都会 \(\times 2\) ，所以每隔 \(2\) 的若干次方就会发生一次翻转，也就是说二进制表示下的 \(x\) 每多一个 1 就会发生翻转，所以这个元素属于什么只和二进制表示下的这个数中有多少个 1 的奇偶性有关。

• 当然了，奇数偶数对应什么取决于你从哪里开始标号，从 0 开始自然就是这样了。

代码

还没写……