【学习笔记】2021.10.5 - 清北学堂数论讲解

ExGcd

gcd

辗转相除法，即$\gcd(a,b)=\gcd(b,a \mod b)$。

lcm

$lcm(a,b)=\frac{a \times b}{\gcd(a,b)}$。

ExCrt

Excrt求解核心（合并方程）

大数翻倍法

void merge(int a1,int p1,int a2,int p2){
//x%p1=a1
//x%p2=a2
//x%p=a
	if(p1<p2) swap(a1,a2),swap(p1,p2);
//最坏复杂度是未翻倍的数，以上操作使得复杂度变为min(p1,p2) 
	int x=a1;
	while(x%p2!=a2) x+=p1;
//在方程一中，x对p1取模，所以加一点p1也无所谓，可以一只加p1直到它满足p2为止 
	return x%lcm(p1,p2); 
}
//卡掉以上代码：当且仅当只有两个1e9以上的大质数

计算取模（组合数）

n,m$\leq$2000,p不限

暴力。

n$\leq 10^9$,m$\leq 10^3$,p=$10^9+7$

逆元。

n$\leq 10^9$,m$\leq 10^3$,p=任意数

对于两个阶乘，暴力枚举并约分，然后计算所有数的积。

n,m$\leq 10^9$,p$\leq$100

使用卢卡斯定理，将n和m拆分成p进制，使得逆元得以产生，拆分后低位对齐，高位补零，然后对于每一位进行对应地运算。

容斥原理

给定若干集合的大小及若干集合交的大小，求若干集合并的大小。

显然，$S_1 \bigcup S_2 = S_1+S_2-S_1 \bigcap S_2$ ，容斥原理的核心思想正是如此。

公式：$\bigcup\limits_{1\le i\le n} S_i=\sum\limits_{S\in\left\{S_1,S_2,\cdots,S_n\right\}}{(-1)}^{\left|S\right|+1}\left|\bigcap\limits_{S_i\in S}S_i\right|$

例1.n夫妻问题

现有n对夫妻做成一圈，对于每个方案（旋转后相同认为是同一方案），要求没有任意一对夫妻相邻。

n对夫妻随便坐

圆排列，方案为$(2n-1)!$。

处理

强制把一对夫妻绑在一起，此时这两个人可以视为一个单位，那么这些单位随便坐的方案为$(2n-1)!$。

所以，拎出一对夫妻绑在一起再随便坐的方案为 $C^m_n \times (2n-1)! \times 2^1$。

但是，两对夫妻绑在一起的会被减去两次，要加回来。

然后，三对的会多加一次，要减回去。

四次加回来，五次减回去……

然后就是容斥，最终公式为 $\sum\limits^n_{i=0}{C^m_n \times (2n-1-i)! \times 2^i \times (-1)^i}$。

例2.FoxJumping

给定一个大小为$n \times m$的矩阵，要你从$(0,0)$走R步到$(n,m)$，每次可以从$(x,y)$走到$(x+d_x,y+d_y)$，要求 $0 \leq d_x \leq T_x$，$0 \leq d_y \leq T_y$，$d_x+d_y \neq 0$ 且 $\forall 1 \leq i \leq k,(d_{x_i},d_{y_i}) \neq (10 \times z_i,10 \times z_i)$，$n,m \leq 800$。

设$f[R][N]$表示走R步x轴走到n的方案，$g[R][M]$表示走R步y走到m的方案（不考虑是否合法），最终总方案就是$f[R][N] \times g[R][M]$。

接下来考虑只走不合法步骤的路径，设 $h[i][z]$ 表示只走i步不合法，走到 $(10 \times z_i,10 \times z_i)$ 的方案数。

所以总不合法的方案数为$\sum\limits^k_{i=0}{(-1)^i \sum\limits^{\frac{min(n,m)}{10}}_{z=0}{h[i][z]}\times f[k-i][N-10z]\times g[k-i][M-10z]}$。（i步不合法到某个$z_i$的位置的方案乘上剩下的步数的合法的方案）

我是伞兵，笔记不全，这里是Minus神仙的笔记以供补充