关键路径

// algo7-5.cpp 求关键路径。实现算法7.13、7.14的程序
#include"c1.h"
#define MAX_NAME 5 // 顶点字符串的最大长度+1
typedef int InfoType;
typedef char VertexType[MAX_NAME]; // 字符串类型
#include"c7-21.h"
#include"bo7-2.cpp"
#include"func7-1.cpp"
int ve[MAX_VERTEX_NUM]; // 事件最早发生时间，全局变量(用于算法7.13和算法7.14)
typedef int SElemType; // 栈元素类型
#include"c3-1.h" // 顺序栈的存储结构
#include"bo3-1.cpp" // 顺序栈的基本操作
Status TopologicalOrder(ALGraph G,SqStack &T)
{ // 算法7.13 有向网G采用邻接表存储结构,求各顶点事件的最早发生时间ve(全局变量)。T为拓扑序列
	// 顶点栈,S为零入度顶点栈。若G无回路,则用栈T返回G的一个拓扑序列,且函数值为OK；否则为ERROR
	int i,k,count=0; // 已入栈顶点数，初值为0
	int indegree[MAX_VERTEX_NUM]; // 入度数组，存放各顶点当前入度数
	SqStack S;
	ArcNode *p;
	FindInDegree(G,indegree); // 对各顶点求入度indegree[]，在func7-1.cpp中
	InitStack(S); // 初始化零入度顶点栈S
	printf("拓扑序列：");
	for(i=0;i<G.vexnum;++i) // 对所有顶点i
		if(!indegree[i]) // 若其入度为0
			Push(S,i); // 将i入零入度顶点栈S
		InitStack(T); // 初始化拓扑序列顶点栈
		for(i=0;i<G.vexnum;++i) // 初始化ve[]=0(最小值,先假定每个事件都不受其它事件约束)
			ve[i]=0;
		while(!StackEmpty(S)) // 当零入度顶点栈S不空
		{
			Pop(S,i); // 从栈S将已拓扑排序的顶点j弹出
			printf("%s ",G.vertices[i].data);
			Push(T,i); // j号顶点入逆拓扑排序栈T(栈底元素为拓扑排序的第1个元素)
			++count; // 对入栈T的顶点计数
			for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc)
			{ // 对i号顶点的每个邻接点
				k=p->data.adjvex; // 其序号为k
				if(--indegree[k]==0) // k的入度减1，若减为0，则将k入栈S
					Push(S,k);
				if(ve[i]+*(p->data.info)>ve[k]) // *(p->data.info)是<i,k>的权值
					ve[k]=ve[i]+*(p->data.info); // 顶点k事件的最早发生时间要受其直接前驱顶点i事件的
			} // 最早发生时间和<i,k>的权值约束。由于i已拓扑有序，故ve[i]不再改变
		}
		if(count<G.vexnum)
		{
			printf("此有向网有回路\n");
			return ERROR;
		}
		else
			return OK;
}
Status CriticalPath(ALGraph G)
{ // 算法7.14 G为有向网，输出G的各项关键活动
	int vl[MAX_VERTEX_NUM]; // 事件最迟发生时间
	SqStack T;
	int i,j,k,ee,el,dut;
	ArcNode *p;
	if(!TopologicalOrder(G,T)) // 产生有向环
		return ERROR;
	j=ve[0]; // j的初值
	for(i=1;i<G.vexnum;i++)
		if(ve[i]>j)
			j=ve[i]; // j=Max(ve[]) 完成点的最早发生时间
		for(i=0;i<G.vexnum;i++) // 初始化顶点事件的最迟发生时间
			vl[i]=j; // 为完成点的最早发生时间(最大值)
		while(!StackEmpty(T)) // 按拓扑逆序求各顶点的vl值
			for(Pop(T,j),p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc)
			{ // 弹出栈T的元素,赋给j,p指向j的后继事件k,事件k的最迟发生时间已确定(因为是逆拓扑排序)
				k=p->data.adjvex;
				dut=*(p->data.info); // dut=<j,k>的权值
				if(vl[k]-dut<vl[j])
					vl[j]=vl[k]-dut; // 事件j的最迟发生时间要受其直接后继事件k的最迟发生时间
			} // 和<j,k>的权值约束。由于k已逆拓扑有序，故vl[k]不再改变
			printf("\ni ve[i] vl[i]\n");
			for(i=0;i<G.vexnum;i++) // 初始化顶点事件的最迟发生时间
			{
				printf("%d %d %d",i,ve[i],vl[i]);
				if(ve[i]==vl[i])
					printf(" 关键路径经过的顶点");
				printf("\n");
			}
			printf("j k 权值ee el\n");
			for(j=0;j<G.vexnum;++j) // 求ee，el和关键活动
				for(p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc)
				{
					k=p->data.adjvex;
					dut=*(p->data.info); // dut=<j,k>的权值
					ee=ve[j]; // ee=活动<j,k>的最早开始时间(在j点)
					el=vl[k]-dut; // el=活动<j,k>的最迟开始时间(在j点)
					printf("%s→%s %3d %3d %3d ",G.vertices[j].data,G.vertices[k].data,dut,ee,el);
					// 输出各边的参数
					if(ee==el) // 是关键活动
						printf("关键活动");
					printf("\n");
				}
				return OK;
}
void main()
{
	ALGraph h;
	printf("请选择有向网\n");
	CreateGraph(h); // 构造有向网h，在bo7-2.cpp中
	Display(h); // 输出有向网h，在bo7-2.cpp中
	CriticalPath(h); // 求h的关键路径
}

代码的运行结果：

请选择有向网(见图7
65)
请输入图的类型(有向图:0,有向网:1,无向图:2,无向网:3): 1
请输入图的顶点数,边数: 6,8
请输入6个顶点的值(<5个字符):
V1 V2 V3 V4 V5 V6
请输入每条弧(边)的权值、弧尾和弧头(以空格作为间隔):
3 V1 V2
2 V1 V3
2 V2 V4
3 V2 V5
4 V3 V4
3 V3 V6
2 V4 V6
1 V5 V6
有向网(见图7
66)
6个顶点：
V1 V2 V3 V4 V5 V6
8条弧(边):
V1→V3 :2 V1→V2 :3
V2→V5 :3 V2→V4 :2
V3→V6 :3 V3→V4 :4
V4→V6 :2
V5→V6 :1
拓扑序列：V1 V2 V5 V3 V4 V6
i ve[i] vl[i] (见图7
67)
0 0 0 关键路径经过的顶点
1 3 4
2 2 2 关键路径经过的顶点
3 6 6 关键路径经过的顶点

4 6 7
5 8 8 关键路径经过的顶点
j k 权值ee el
V1→V3 2 0 0 关键活动
V1→V2 3 0 1
V2→V5 3 3 4
V2→V4 2 3 4
V3→V6 3 2 5
V3→V4 4 2 2 关键活动
V4→V6 2 6 6 关键活动
V5→V6 1 6 7

图7
66 是邻接表的示意图。为直观和方便起见，表结点中邻接顶点的序号直接用其
名称代替，动态生成的权值也直接写在权值的指针域中。
运行algo7-5.cpp 用到2 个辅助数组：事件(顶点)最早发生时间ve[]和事件最迟发生
时间vl[]。
顶点i 的事件(顶点)最早发生时间ve[i]取决于其直接前驱事件的发生时间和二者之间
活动的持续时间(弧的权值)。如图7
65 中，V2 事件的最早发生时间取决于V1 的ve[]和
<V1,V2>的权值3。即V2 的ve[]等于V1 的ve[]+3。如果顶点i 有多个直接前驱事件则
ve[i] 取最大值， 如V4 的ve[] 取决于V2 的ve[]+<V2,V4> 的权值2 与V3 的
ve[]+<V3,V4>的权值4 这2 者中的大值。没有直接前驱事件的顶点，其ve[]=0(是最小
值)，如顶点V1。由于求顶点的ve[]要求其直接前驱的ve[]已知，故应先对有向网进行拓
扑排序。排序前设所有顶点的ve[]初值=0(最小值)，当出现较大的值，则用这个大值更新
ve[]。调用TopologicalOrder()后，ve[]如以上程序运行结果所示。

所谓事件最迟发生时间是指在不影响工期的情况下，某事件可以最迟发生的时间。顶
点i 的事件(顶点)最迟发生时间vl[i]取决于其直接后继事件的最迟发生时间和二者之间活
动的持续时间(弧的权值)。如图7
65 中，V4 事件的最迟发生时间取决于V6 的vl[]和
<V4,V6>的权值2。即V4 的vl[]等于V6 的vl[]-2。如果顶点i 有多个直接后继事件则
vl[i]取最小值。如V3 的vl[]取决于V4 的vl[]-<V3,V4>的权值4 与V6 的vl[]-<V3,V6>
的权值3 这2 者中的小值。没有直接后继事件的顶点，其vl[]=ve[](是最大值，已先期求
出)，如顶点V6。由于求顶点的vl[]时，要求其直接后继的vl[]已知，故应先形成有向网
的逆拓扑序列。TopologicalOrder()将已拓扑排序的顶点入栈T，形成逆拓扑序列。排序前
设所有顶点的vl[]初值等于没有后继的那个顶点的vl[](最大值)，本例中这个顶点是
V6。当出现较小的值，则用这个小值更新vl[]。调用CriticalPath()，vl[]如以上程序运行
结果所示。

若对于顶点i，有ve[i]=vl[i]，即事件最早发生时间等于事件最迟发生时间。说明为
保证工期，事件(顶点)i 的发生时间不可变更。如果变小，则前面的活动(入弧)还没完
成；如果变大，则影响后继事件按时完成。因此，顶点i 是关键路径要经过的点。如以上
程序运行结果所示，V1、V3、V4 和V6 是关键路径要经过的顶点。但光根据这些顶点，
还不能确定关键路径。如图7
65 中，虽然V3、V4 和V6 是关键路径要经过的顶点，但
弧<V3,V4>、<V3,V6>和<V4,V6>中哪个是关键路径还不清楚。
如果一个活动(弧)<j,k>，它的前端事件的最早发生时间ve[j]+<j,k>的权值等于
vl[k](后端事件的最迟发生时间)，那么这个活动的发生时间就没有变更的余地，它就是整
个关键路径的一部分。求得ve[]和vl[]后，对于每一个弧<j,k>，判断它的ve[j]是否等于
它的vl[k]+dut(弧的权值)，可求出所有关键路径。图7
67 中粗箭头弧是关键路径。