集合划分状压dp
给一个 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，每条边有 $p_i$ 的概率消失，求图连通的概率
$n \leq 9$
sol：
我们考虑一个 $dp$
$f_{(i,S)}$ 表示只考虑前 $i$ 条边，当前图连通的状态为 $S$ 的概率
设这条边没有消失，图的新连通状态为 $T$
那转移到 $T$ 的概率就是 $(1 - p_i)$
不变的概率是 $p_i$
然后一个滚动数组就做完了
然后我们考虑，怎么把“图的连通状态”这个东西状压出来
一个 idea 是，我们可以在状态里记录每个点所处的连通块里最小的点的编号，比如 123 是一个连通块，45 是一个连通块，我们这个状态就是 12344
这样的话，因为每个点所处连通块里最小的点的编号不超过它的编号，状态数是 $O(n!)$ 的，但如果我们直接存一个 9 位数，数组显然开不下
1.我们可以哈希一下，把代码写成这样
int h; map<vector<int>,int> hsh; map<int,vector<int> > reh; inline int gethsh(vector<int> v) { if(!hsh[v]) { hsh[v] = ++h; reh[h] = v; } return hsh[v]; } inline vector<int> getreh(int h){return reh[h];}
2.或者我们可以动动脑子
显然，这个状态的最后一位数只有 $n$ 种情况
然后，倒数第二位只有 $n - 1$ 种情况（不能比最后一位大）
然后，倒数第三位只有 $n - 2$ 种情况
...
然后，最高位只有 $1$ 种情况（$1$ 只能属于 $1$）
于是我们把最后一位数乘以 $n$ ，倒数第二位乘以 $(n-1) \times n$ ，倒数第三位乘以 $(n-2) \times (n-1) \times n$ ... 最高位乘以 $n!$
就把状态压到了 $O(n!)$ 个数里
如果想知道一个值对应的状态是什么，从高到低除再取余一下就可以了
于是可以 dp 了
学习了 yyc 同学的写法，预处理出了前 n 位所有状态
$state_(i,j)$ 表示第 $i$ 个方案的第 $j$ 位是什么，也就是 $j$ 点在第 $i$ 种状态里所属的连通块的编号最小的点
frustrated好强呀
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#include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; inline int read() { int x = 0,f = 1;char ch = getchar(); for(;!isdigit(ch);ch = getchar())if(ch == '-')f = -f; for(;isdigit(ch);ch = getchar())x = 10 * x + ch - '0'; return x * f; } int n,m; double grid[15][15]; namespace p30 { int fa[15];inline int find(int x){return x == fa[x] ? x : fa[x] = find(fa[x]);} struct EDG{int u,v;double p;}es[100]; int _main() { for(int i=1;i<=m;i++) { int a = read(),b = read();double p; scanf("%lf",&p); //grid[a][b] = grid[b][a] = (1.00 - p); es[i] = (EDG){a,b,1.00 - p}; } int MAXSTATE = (1 << m) - 1; double zgl = 0.0; for(int S=0;S<=MAXSTATE;S++) { double curgl = 1.00; for(int i=1;i<=n;i++)fa[i] = i; for(int i=1;i<=m;i++) { if(S & (1 << (i - 1))) { int fu = find(es[i].u),fv = find(es[i].v); curgl *= es[i].p;if(fu == fv)continue; fa[fu] = fv; } else curgl *= (1.00 - es[i].p); } int flg = 1; for(int i=1;i<=n;i++)if(find(i) != find(1))flg = 0; if(flg)zgl += curgl; }printf("%.3f\n",zgl); return 0; } } namespace prng { int _main() { srand(time(0)); int RNG = rand() % 1000 + 1; double rng = RNG / 1000.0; printf("%.3f\n",rng); return 0; } } namespace p100 { const int maxn = 382880; int fac[15],u[150],v[150],state[maxn][12],t[12]; double w[150],f[maxn],g[maxn]; inline int calc() { int res = 0; for(int i=1;i<=n;i++) res += (t[i] - 1) * (fac[n] / fac[i]); return res + 1; } int _main() { for(int i=1;i<=m;i++) { u[i] = read(),v[i] = read(); scanf("%lf",&w[i]); }fac[0] = 1; for(int i=1;i<=10;i++)fac[i] = fac[i - 1] * i; for(int i=1;i<=n;i++)state[1][i] = 1; for(int i=2;i<=fac[n];i++) { int x = n; while(1) { state[i][x] = state[i - 1][x] + 1; if(state[i][x] > x)state[i][x] = 1,state[i][x - 1]++; else break; x--; } for(int j=1;j<x;j++)state[i][j] = state[i - 1][j]; } f[fac[n]] = 1.0; for(int i=1;i<=m;i++) { for(int j=1;j<=fac[n];j++) { if(f[j]) { for(int kk=1;kk<=n;kk++)t[kk] = state[j][kk]; for(int kk=1;kk<=n;kk++) if(state[j][v[i]] == t[kk] || t[kk] == state[j][u[i]]) t[kk] = min(state[j][u[i]],state[j][v[i]]); g[calc()] += f[j] * (1 - w[i]); g[j] += f[j] * w[i]; } } for(int j=1;j<=fac[n];j++)f[j] = g[j],g[j] = 0; } printf("%.3f",f[1]); } } int main() { //freopen("10.in","r",stdin); //freopen("10.out","w",stdout); n = read(),m = read(); //if(n <= 8 || m <= 23)p30::_main(); //else prng::_main(); p100::_main(); }
