洛必达法则偷鸡教学

最近做了很多毒瘤导数题甚是自闭，我发现让我自闭的题大概分为三种

1.神仙构造

2.零点存在

 

神仙构造还好，有OI的基础，虽然不如wls和yyc，但也海星

零点存在就非常自闭，因为它往往出现在最后几步，而你明知道它是有零点的，依然需要找出像 $(e^{\frac{1}{a}}+1)$ 这种奇妙零点，甚至还有可能涉及到放缩+求导证明，然而更加自闭的有可能是你需要证的并不是存在零点，而是 $\lim_\limits{x \rightarrow 0} f(x)=0$，而这个东西...不用洛必达是不好搞的（大概）

好，现在偷鸡教学正式开始，据章红说它不扣分，那期中考试应该不会扣，不会影响大家苟自招名额

那么具体怎么操作呢

 

如果你要求一个 $\lim\limits_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$ ，而 $f(x),g(x)$ 在 $a$ 处都是 $0,\infty$ 这种一比就说不清楚的东西，你就可以说：由洛必达法则，$\lim\limits_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} = A$

然后你只需要确定在这个 $a$ （可以为 $0$ 或 $\infty$）附近 $f,g$ 都有定义且可导且分母导数不为 $0$ 就行了，这样你就成功地在章红允许的范围内说出了“极限”

哦对，还有，$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin \space x}{x} = 1$ 这个事情不能用洛必达法则，因为涉及到一些更复杂的东西（其实是我咕了）

 

然后我们可以发现，它还可以偷一些其他的鸡

比如 $f(x)=xlnx$，在 $0$ 处趋近于 $0$ 这事不好说，我们可以 $xlnx = \frac{lnx}{\frac{1}{x}}$ 然后分别求导

 

退役后的第一篇，本来打算写很长，后来感觉写不动了，就这样吧