bzoj 4671 异或图

定义两个图 $G_1,G_2$ 的异或为 $G_3$，$G_3$ 中每条边出现当且仅当这条边在 $G_1,G_2$ 中出现的次数之和为 $1$

给 $n$ 个图，求有多少子集的异或图是连通图

$n \leq 10, m \leq 60$

sol：

连通性计数的题一般都是容斥吧

我们枚举子集，钦定不同子集间没有连边，相同子集间不一定有没有边，假设划分了 $m$ 个子集

令 $f_m$ 为划分后正好有 $m$ 个连通块的方案数，$g_m$ 为不一定有 $m$ 个连通块的方案数，我们要求的就是 $f_1$

枚举这 $n$ 个点划分成了多少连通块，可以得到一个式子：$g_m = \sum\limits_{i=m}^n Stirling2(i,m) \times f_i$

然后用一波斯特林反演（这就触及到我的知识盲区了

$f_m = \sum\limits_{i=m}^n (-1)^{i-m} \times Stiring1(i,m) \times g_i$

由于我们求的是 $f_1$，而 $Stiring1(n,1)=\frac{n!}{n}=(n-1)!$，于是我们惊奇地发现 $f_1 = ans = \sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i-1} \times (n-1)! \times g_i$

这个式子是 $O(n)$ 的，我们只要求出 $g$ 数组即可

然后发现 $n=10$，所以我们可以 $O(bell(n)) \approx O(n!)$ 枚举每一种集合划分方案，这时根据我们的集合划分定义，有一些边是确定没有的

我们可以对这些边列一个异或方程，$x_i$ 表示第 $i$ 张图的选择情况，最后确定出的图数量就是 $2^{自由元}$

这样就算完了

01 异或方程可以线性基

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define rep(i, s, t) for (register int i = (s), i##end = (t); i <= i##end; ++i)
#define dwn(i, s, t) for (register int i = (s), i##end = (t); i >= i##end; --i)
using namespace std;
inline int read() {
    int x = 0,f = 1; char ch = getchar();
    for(; !isdigit(ch); ch = getchar())if(ch == '-') f = -f;
    for(; isdigit(ch); ch = getchar())x = 10 * x + ch - '0';
    return x * f;
}
int s, n; char ch[1010];
int g[70][12][12], bl[30];
vector<LL> A; LL ans, fac[30];
void dfs(int cur, int m) {
    //cout << "cur: " << cur << endl;
    if(cur > n) {
        A.clear();
        rep(i, 1, n) rep(j, i+1, n) if(bl[i] != bl[j]) {
            LL nv = 0;
            rep(p, 1, s) if(g[p][i][j]) nv |= (1LL << (p - 1));
            //fnv ^= nv;
            rep(p, 0, A.size() - 1) if((nv ^ A[p]) < nv) nv ^= A[p];
            if(nv) {
                //cout << nv << endl;
                A.push_back(nv);
                dwn(p, A.size() - 1, 1) if(A[p] > A[p - 1]) swap(A[p], A[p - 1]);
            }
        }
        int c = s - A.size();
        ans += ((m & 1) ? (1LL) : (-1LL)) * (1LL << c) * fac[m - 1];
        //cout << c << " " << ans << endl;
        //cout << "c & ans : " << c << " "  << ans << endl;
        return;
    }
    rep(i, 1, m + 1) bl[cur] = i, dfs(cur + 1, m + (i > m));
}
int main() {
    //freopen("1.in","r",stdin);
    //freopen("buff.txt","w",stdout);
    s = read();
    rep(i, 1, s) {
        scanf("%s", ch + 1);
        int len = strlen(ch + 1), ps = 0, cur = 1;
        for(; ps * (ps - 1) / 2 < len; ps++); n = ps;
        //cout << n << endl;
        rep(j, 1, ps) rep(k, j+1, ps) g[i][j][k] = ch[cur] - '0', cur++;
    } fac[0] = 1;
    rep(i, 1, 25) fac[i] = i * fac[i - 1];
    dfs(1, 0);
    cout << ans << endl;
    //cout << fnv << endl;
}