[高端操作]常系数线性递推式
对一个常系数线性递推式fn=k∑i=1ai×fn−i
矩阵快速幂需要 O(k^3logn) ?
这篇文章将教您在至多为 O(k^2logn + k^4) 时间内搞这个式子
有什么用嘛,可能对我这种省选注定退役的人没啥用,但对于 NOI 及以上比赛想 AK 的同学们可能有用
1.矩阵的特征多项式
矩阵 A 的特征多项式是一个关于 \lambda 的函数 f(\lambda)=det(\lambda I - A),其中 I 为单位矩阵,det() 为行列式
2.Caylay-Hamilton 定理
就一句话,f(A) = 0,证明略
3.求矩阵特征多项式的方法
1) 消一消
考虑根据定义,需要求行列式,消一下就可以了,复杂度 O(k^5) 或 O(k^4)
2)插一插
考虑到特征多项式是一个 k 次的多项式,我们可以把 \lambda = 0,1,2, \cdots ,k 时的点值求出来,然后拉格朗日插值,复杂度 O(k^4)
4.有啥用
根据小学知识
被除数 ÷ 除数 = 商 \cdots \cdots 余数
我们发现,一个次数大于等于 k 的矩阵幂,可以把它除以 f(A)
之后我们发现:因为除数等于 0 ,所以余数 = 被除数
然后我们发现,余数的次数不超过 k
于是我们可以用类似快速幂的做法倍增,把 n 次的矩阵幂变成一个不超过 k 次的多项式
其中每一步如果用快速的多项式取模 (FFT) ,是 O(klogk) 的,如果暴力,是 O(k^2) 的
这一步的复杂度是 O(klogklogn) 或者 O(k^2logn)
然后就做完了。。。看上去很简单,但我们可以数数,一道完整的题,您要写多少代码
1.多项式相关操作(FFT,求逆,取膜)
2.构造矩阵(dfs / 根据题目情况而定)
3.构造特征多项式(消元 / 拉格朗日插值)
4.倍增的单步转移
5.倍增的全过程
嗯...不是很长?
附一个拉格朗日插值的代码吧
给一个长度为 n 的多项式函数(注意,是长度,所以次数为 n-1),求它在 k 处的点值
#include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; inline int read() { int x=0,f=1; char ch=getchar(); for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1; for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=ch-'0'+(x<<3)+(x<<1); return x*f; } inline void write(int x) { if(x<0)putchar('-'),x=-x; int t=10,len=1; while(t<=x)t*=10,len++; while(len--)t/=10,putchar(x/t+48),x%=t; putchar(' '); return ; } const int maxn = 2010,mod = 998244353; int n,k,x[maxn],y[maxn]; inline int skr(int x,int t) { int res = 1; while(t) { if(t & 1)res = 1LL * res * x % mod; x = 1LL * x * x % mod; t = t >> 1; }return res; } int main() { n = read() - 1,k = read(); for(int i=0;i<=n;i++)x[i] = read(),y[i] = read(); int ans = 0; for(int i=0;i<=n;i++) { int t1 = 1,t2 = 1; for(int j=0;j<=n;j++) { if(i != j) { t1 = 1LL * t1 * (k - x[j]) % mod; t2 = 1LL * t2 * (x[i] - x[j]) % mod; } } ans = ((LL)ans + (LL)y[i] * t1 % mod * skr(t2,mod - 2) % mod) % mod; } ans = ((ans % mod) + mod) % mod; cout<<ans; }
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