并查集基础

并查集，是一个可以实现并集和查询操作的集合，其内部是用一颗树来维护的。

一个例子加深理解：通畅工程（HDOJ）

算法

用集合中的某个元素来代表这个集合，该元素称为集合的代表元。
一个集合内的所有元素组织成以代表元为根的树形结构。
对于每一个元素 f[x]指向x在树形结构上的父亲节点。如果x是根节点，则令f[x] = x。
对于查找操作，假设需要确定x所在的的集合，也就是确定集合的代表元。可以沿着f[x]不断在树形结构中向上移动，直到到达根节点。

判断两个元素是否属于同一集合，只需要看他们的代表元是否相同即可。

步骤

1.建立并查集：并查集是一棵树，这棵树用一个f[]数组来建立，f[i]代表i结点的父亲。在实行“并”操作之前，所有元素都是孤立的，f[i]←i;

for(i=1;i<=N;i++)
    f[i]=i;

2.根节点查询：引入一个代表元的概念，当我们想要知道一个元素在哪一棵树上时，我们可以用这棵树的根作为代表元，我们就说一个元素在以A根节点的树上，即这个元素所在集合的代表元是A，通过代表元来区分集合。欲查询一棵树所在的集合，即是查询这棵树的根节点，这就是为什么用f数组，顺着一个结点的f数组一路找上去，直到f[x]=x，就找到了。

int find(int x)
{
    if(f[x]==x) return x;
    else return  f[x]=find(f[x]);
}

路径压缩

明显地，一次find操作需要从这个结点一直查到根节点，时间复杂度是树的深度。我们只关心一个结点所在树的根节点，不妨在查询的过程中，把所经过的每一个结点的父亲都设为根节点，那么下次在查询时，时间复杂度就变为O(1)。最终的find函数：

int find(int x)
{
    if(f[x]==x) return x;
    else return  f[x]=find(f[x]);
}

3.并集：欲将个集合进行并集操作，即是将两个两棵树合成一棵树，只需让一个根节点成为另一个根节点的儿子。通常是要求将两个元素所在的集合取并集。用a、b表示两个不同集合中的元素，并集操作如下：

f[find(A)]=find(B);
/* 或者

fa=find(a),fb=find(b);
其他一些操作；
f[fa]=fb;

*/