CF280C

将原题中的操作删除变成染色，即：

给出一棵树，每次随机等概率选择一未染黑的点，将它及其子树染黑。问期望多少次操作可以将树全部染黑。

首先由于期望的线性性，对每个节点分别考虑其期望被选中的次数。

假设当前在考虑点 \(u\)，那么只用考虑 \(1\sim u\) 这条链上的点。

由于每个节点被选中的次数只有 \(0,1\)，于是它的期望即为它被选中的概率。

令 \(dep_i\) 表示节点 \(i\) 的深度，\(dep_1=1\)。

考虑随机生成一个操作序列，找到序列中第一个未被染色的节点，并染色这个节点和它的子树中的所有节点，重复这个操作，直到序列中所有节点都被染色。

不难发现若 \(u\) 被选中，那么它的所有祖先都要在它后面被选中，那么概率为 \(\dfrac{1}{dep_u}\)。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
const int N = 100005;
int n;
int head[N], ver[N*2], nxt[N*2], cnt;
int dep[N];
db ans;

void add(int u, int v) {
	ver[++cnt] = v, nxt[cnt] = head[u], head[u] = cnt;
}

void dfs(int u, int fa) {
	dep[u] = dep[fa] + 1;
	for (int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
		int v = ver[i];
		if (v == fa) continue;
		dfs(v, u);
	}
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1, u, v; i < n; ++i) scanf("%d%d", &u, &v), add(u, v), add(v, u);
	dfs(1, 0);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) ans += 1.0 / dep[i];
	printf("%.8lf", ans);
	return 0;
}