AT_diverta2019_e XOR Partitioning

先发现以下两个性质：

• 对于所有段，它们的异或和就是所有数的异或和。
• 由于每段的异或和都一样，设为 \(d\)，并设 \(s\) 为所有数的异或和，总共分成了 \(x\) 段，则有 \(s=[x\bmod2=1]d\)。

设 \(\left\{A\right\}\) 的前缀异或和为 \(\left\{pre\right\}\)。

分类讨论。

如果 \(s\ne0\)，这个比较清晰，说明 \(d=s\) 且 \(x\) 是奇数，考虑所有 \(x\) 段的最后一个数的位置 \(p_1,\cdots,p_x\)，那么说明 \(pre_{p_i}=[i\bmod2=1]d\)，因此问题变成在 \(1,\cdots,n\) 选奇数个位置，且 \(n\) 必须选，满足奇数位置上的 \(pre=d\)，偶数位置上的 \(pre=0\)。

考虑 DP，设 \(f(i,0/1)\) 表示前 \(i\) 个数，选了偶数/奇数个位置的方案数。则有

\[f(i,0)=\left\{\begin{matrix} f(i-1,0)& a_i\ne0 \\f(i-1,0)+f(i-1,1)& a_i=0 \end{matrix}\right.\]

\[f(i,1)=\left\{\begin{matrix} f(i-1,1)& a_i\ne d \\ f(i-1,1)+f(i-1,0)& a_i=d \end{matrix}\right.\]

否则若 \(s=0\)，继续分类讨论，若分成的段数是 \(x\) 是奇数，则说明 \(d=0\)，问题同上，否则 \(d\) 未知，问题变成在 \(1,\cdots,n\) 中选偶数个位置，且 \(n\) 必须选，满足奇数位置上的 \(pre=d\)，偶数位置上的 \(pre=0\)。

如果对每个 \(d\) 都 \(\mathcal O(n)\) 跑一遍 DP，将会爆炸，但是注意到转移只会在 \(pre=0\) 或 \(pre=d\) 的位置更新 \(f\)，于是预处理出所有 \(pre_i=d\) 的位置，然后对 \(pre_i=0\) 的位置进行前缀和预处理，就可以快速转移了。

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 500005, M = 1 << 20, mod = 1e9 + 7;
int n;
int pre[N], sum[N];
vector <int> pos[M];
bool vis[M];

void add(int &a, int b) {
	a += b;
	if (a >= mod) a -= mod;
}

int calc(int d) {
	if (!d) {
		int res = 1;
		for (int i = 0; i + 1 < pos[0].size(); ++i) res = res * 2 % mod;
		return res;
	}
	int odd = 0, even = 1, lst = 0;
	for (int i = 0; i + (pre[n] == d) < pos[d].size(); ++i) {
		add(even, 1ll * odd * (sum[pos[d][i]] - sum[lst]) % mod), add(odd, even);
		lst = pos[d][i];
	}
	add(even, 1ll * odd * (sum[n - 1] - sum[lst]) % mod);
	if (pre[n] == d) return even;
	else return odd;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1, x; i <= n; ++i) scanf("%d", &x), pos[pre[i] = pre[i - 1] ^ x].push_back(i), sum[i] = sum[i - 1] + (pre[i] == 0);
	if (pre[n]) return printf("%d", calc(pre[n])), 0;
	else {
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= n; ++i) {
			if (vis[pre[i]]) continue;
			vis[pre[i]] = 1, add(ans, calc(pre[i]));
		}
		printf("%d", ans);
	}
	return 0;
}
```AT_diverta2019_e