ABC277 E~Ex

E：

简单最短路，加一维表示当前是否翻转所有边的状态即可。

Code

F：

先考虑简化版本，如果 $\left\{A\right\}$ 中没有 $0$，如何判定。

重新表述一下条件，令 $mn_i,mx_i$ 分别表示第 $i$ 行中的最小值和最大值，则有

• $mn_1\le mx_1\le mn_2\le mx_2\le\cdots\le mn_n\le mx_n$
• $\forall i\in[1,n],\forall j\in[1,m-1],A_{i,j}\le A_{i,j+1}$

可以发现，交换行不会影响条件 $2$，交换列不会影响条件 $1$。

于是原问题变成了两个独立的问题。

对于问题 $1$，将每行按照 $mn$ 从小到大，$mn$ 相同时 $mx$ 从小到大排序，然后检查一遍是否合法即可。

对于问题 $2$，考虑建图，对于两行 $j,j^{′}$，如果存在一个 $i$ 满足 $A_{i,j}\lt A_{i,j^{′}}$，就建一条边 $j\to j^{′}$，代表最终排完后 $j$ 列必须在 $j^{′}$ 列左边。

显然，如果图是一张 DAG，那有解，否则无解。

但是边的数量太多了，显式建图的话还得继续优化。

其实没必要那么麻烦，代码中并没有显式建图，而是直接 sort，之后再检查是否合法。

直接 sort 应该是假的，Hack 数据：

1 0 3
5 0 3
0 0 0

应该输出 No，反正我的代码是输出 Yes 的，不知道有没有其他直接 sort 正确性是对的。

考虑建虚点，假设当前某一行形如：

• 列 $1,2,3,4,5,6$
• 值 $1,2,1,3,3,1$

则建三个虚点，第一个虚点连向 $1,3,6$，$1,3,6$ 连向第二个虚点，第二个虚点连向 $2$，$2$ 连向第三个虚点，第三个虚点连向 $4,5$。

发现点，边的数量都降到了 $\mathcal O(nm)$ 级别，直接拓扑一遍即可。

简化版本考虑完了，如果有 $0$ 呢？

其实也一样，原题中是填完 $0$ 再交换，不难发现等价于交换完再填 $0$。

而如果交换完后，矩阵中忽略 $0$ 后已经满足非严格递增，则一定可以构造出答案。

例如目前 $\left\{A\right\}=\left\{0,0,2,0,3,4,0,0,4,0,5,0\right\}$，则可以将其填为 $\left\{1,1,2,2,3,4,4,4,4,4,5,5\right\}$。

于是可以解决有 $0$ 的情况，把 $0$ 忽略掉，用没 $0$ 的情况来处理即可。

时间复杂度 $\mathcal O(nm\log nm)$。

Code

G：

把这题搬到了图上。

依旧考虑设 $f_{i,j,k},k\in[0,1,2]$ 表示走了 $i$ 步，在点 $j$，Level 的 $k$ 次方的期望值。

转移依旧类似，核心思想依旧是利用期望的线性性，即

$$E[x+1]=E[x]+E[1]$$

$$E[(x+1)^2]=E[x^2]+2E[x]+E[1]$$

按照 $i$ 从小到大依次更新即可。

时间复杂度 $\mathcal O((n+m)k)$。

具体细节看代码。

Code

Ex：

这题的弱化版，稍微改几个地方就好了。

Code