洛谷 P1654

设当前枚举到第 \(i\) 位，\(x\) 为 \(i\) 前面期望连续 \(1\) 的个数。

令 \(a_i=x,b_i=x^2,c_i=x^3\)。

\(a\) 很好转移，

\[a_i=(a_{i-1}+1)\times p_i \]

\(b\) 的转移考虑 \((x+1)^2=x^2+2x+1\)，则有

\[b_i=(b_{i-1}+2\times a_{i-2}+1)\times p_i \]

同理 \(c\) 的转移考虑 \((x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1\)，则有

\[c_i=(c_{i-1}+3\times b_{i-1}+3\times a_{i-1}+1)\times p_i \]

最终答案为

\[\sum_{i=1}^{n}c_i\times (1-p_{i+1}) \]

钦定 \(p_{n+1}=0\)。

实现时把 \(c\) 和最终答案压在一起了，于是式子变成

\[c_{i}=c_{i-1}+(3\times b_{i-1}+3\times a_{i-1}+1)\times p_i \]

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int n;
double a[N], b[N], c[N], x;

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%lf", &x);
		a[i] = (a[i - 1] + 1) * x, b[i] = (b[i - 1] + a[i - 1] * 2 + 1) * x;
		c[i] = c[i - 1] + (b[i - 1] * 3 + a[i - 1] * 3 + 1) * x;
	}
	printf("%.1lf", c[n]);
	return 0;
}