CF1691F

考虑对每个节点 \(u\) 计算贡献，它的贡献有以下三种：

• 以 \(u\) 为根，在整棵树里选 \(k\) 个点使得它们的 \(\text{LCA}\) 为点 \(u\)
• 以 \(u\) 的父亲所属的连通块里的某个点为根，在整棵树里选 \(k\) 个点使得它们的 \(\text{LCA}\) 为点 \(u\)
• 以 \(u\) 的某个子树 \(v\) 中的某个点为根，在整棵树里选 \(k\) 个点使得它们的 \(\text{LCA}\) 为点 \(u\)

对于以 \(u\) 为根的贡献，不停的合并子树即可，设总方案数是 \(tot\)，则

\[tot\gets tot+\binom{siz_u+siz_v}{k}-\binom{siz_u}{k}-\binom{siz_v}{k} \]

不难理解这个式子。

而对非自身为根的贡献，对那个连通块做一遍合并的逆操作即可，方案数是

\[tot-(\binom{n}{k}-\binom{siz_v}{k}-\binom{n-siz_v}{k}) \]

时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

具体细节看代码。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 200005, mod = 1e9 + 7;
int n, k;
int head[N], ver[N*2], nxt[N*2], cnt;
int fac[N], inv[N];
int siz[N];
int ans;

inline void Add(int &a, int b) { a += b; if (a >= mod) a -= mod; }
inline void Sub(int &a, int b) { a -= b; if (a < 0) a += mod; }

int qpow(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;
		x = 1ll * x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}

void init(int maxn) {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= maxn; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
	inv[maxn] = qpow(fac[maxn], mod - 2);
	for (int i = maxn - 1; ~i; --i) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

inline int C(int n, int m) {
	if (n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
	return 1ll * fac[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod;
}

void add(int u, int v) {
	ver[++cnt] = v, nxt[cnt] = head[u], head[u] = cnt;
}

void dfs(int u, int fa) {
	siz[u] = 1; int tot = (k == 1);
	for (int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
		int v = ver[i];
		if (v == fa) continue;
		dfs(v, u);
		int tmp = C(siz[u] + siz[v], k); Sub(tmp, C(siz[u], k)), Sub(tmp, C(siz[v], k));
		Add(tot, tmp), siz[u] += siz[v];
	}
	Add(ans, 1ll * tot * siz[u] % mod * (n - siz[u]) % mod); //第二类贡献
	int tmp = C(n, k); Sub(tmp, C(siz[u], k)), Sub(tmp, C(n - siz[u], k));	
	Add(tot, tmp), Add(ans, 1ll * tot * n % mod); //第一类贡献
	for (int i = head[u]; i; i = nxt[i]) {
		int v = ver[i];
		if (v == fa) continue;
		int tmp = C(n, k); Sub(tmp, C(siz[v], k)), Sub(tmp, C(n - siz[v], k));	
		tmp = (tot - tmp + mod) % mod;
		Add(ans, 1ll * tmp * (n - siz[v]) % mod * siz[v] % mod); //第三类贡献
	}
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	init(n);
	for (int i = 1, u, v; i < n; ++i) scanf("%d%d", &u, &v), add(u, v), add(v, u);
	dfs(1, 0);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}