ABC214G

思路参考 AK_Dream 大佬

考虑容斥，计算钦定 $k$ 位满足 $r_i=p_i$ 或 $r_i=q_i$ 的方案数。

建出 $n$ 个点，将每对 $p_i,q_i$ 连边，由于每个点度数都是 $2$，所以会形成若干个环和一些孤立点(自环)。

对于自环，则有 $p_i=q_i$，只用考虑 $r_i$ 是否等于 $p_i$，这可以用 DP 轻松解决。

不考虑自环，那么选出 $k$ 个位置产生冲突就等价于在图上选择 $k$ 条边，并且给每条被选择的边分配一个它的端点，并且每个点只能分配给一条边。

显然可以把图中的每个环分开考虑。

如果把环上的边也看成点，对于原先的一条边 $(u,v)$，断开 $(u,v)$ 并新建点 $w$，连接 $(u,w),(w,v)$，容易看出修改后的图仍然是环，此时选出 $k$ 个位置就等价于选择 $k$ 对匹配点，匹配的意思是选择相邻两个点。

考虑对于一个 $n$ 个点的环，选择 $k$ 对匹配的方案数是多少。

如果 $(1,n)$ 不匹配，那么就是先把 $k$ 个点拿出，然后在剩下 $n-k$ 个点中选出 $k$ 个点作为匹配的右端点，最后把先前拿出的 $k$ 个点插到选择的 $k$ 个点的左边，这样就形成了 $k$ 对匹配，则方案数为 $\dbinom{n-k}{k}$。

否则 $(1,n)$ 匹配的话，就是要在 $2,\cdots,n-1$ 中选出 $k-1$ 对匹配，则方案数为 $\dbinom{n-2-(k-1)}{k-1}=\dbinom{n-k-1}{k-1}$。

于是对于原问题中一个大小为 $x$ 的环，选出 $k$ 对匹配的方案数为 $\dbinom{2\times x-k}{k}+\dbinom{2\times x-k-1}{k-1}$。

用背包 $\mathcal O(n^2)$ 合并每个环的方案数，计算出整张图钦定 $k$ 位不合法的方案数 $f_k$，由于剩下的位置可以随便填，那么方案数是 $f_k\times (n-k)!$。

由容斥得最终答案是

$$\sum_{i=0}^n (-1)^i f_i\times (n-i)!$$

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 6005, mod = 1e9 + 7;
int n;
int a[N], b[N];
int fac[N], inv[N];
bool vis[N];
int f[N], g[N], tot;

int qpow(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;
		x = 1ll * x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}

void init(int n) {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
	inv[n] = qpow(fac[n], mod - 2);
	for (int i = n - 1; ~i; --i) inv[i] = 1ll * inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
}

int C(int n, int m) {
	if (n < 0 || m < 0 || n < m) return 0;
	return 1ll * fac[n] * inv[n - m] % mod * inv[m] % mod;
}

void add(int &a, int b) {
	a += b;
	if (a >= mod) a -= mod;
	if (a < 0) a += mod;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &b[a[i]]);
	init(n * 2);
	f[0] = 1;
	for (int k = 1; k <= n; ++k) if (!vis[k]) {
		int cnt = 0;
		for (int i = k; !vis[i]; i = b[i]) vis[i] = 1, ++cnt;
		memset(g, 0, sizeof g);
		if (cnt == 1) {
			g[0] = f[0];
			for (int i = 1; i <= tot + 1; ++i) g[i] = (f[i - 1] + f[i]) % mod;
		}
		else {
			for (int i = 0; i <= tot; ++i)
				for (int j = 0; j <= cnt; ++j)
					add(g[i + j], 1ll * f[i] * ((C(2 * cnt - j, j) + C(2 * cnt - j - 1, j - 1)) % mod) % mod);
		}
		memcpy(f, g, sizeof f); tot += cnt;
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 0; i <= n; ++i) {
		f[i] = 1ll * f[i] * fac[n - i] % mod;
		if (i & 1) add(ans, -f[i]);
		else add(ans, f[i]);
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}