ABC246Ex

DDP 板子。

设 \(f_{i,0/1}\) 表示前 \(i\) 位，以 \(0/1\) 结尾的本质不同子序列有多少种。

则最终答案就是 \(f_{n,0}+f_{n,1}\)。

考虑转移，以当前字符为 0 为例，则有

\[f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}+1,f_{i,1}=f_{i-1,1} \]

解释一下，显然 \(f_{i,0/1}\) 都能继承 \(f_{i-1,0/1}\)，而 \(f_{i,0}\) 新增的部分是在前面每一个以 1 结尾的本质不同子序列后面放尽量多的 0 然后再放一个 0，而且也可以全部放 0，所以新增的部分是 \(f_{i-1,1}+1\)。

于是同理，当前字符为 1，则有

\[f_{i,0}=f_{i-1,0},f_{i,1}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}+1 \]

当前字符为 ?，则有

\[f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}+1,f_{i,1}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}+1 \]

不难发现可以写成矩阵形式，即

• 当前字符为 0，\(\begin{bmatrix} f_{i+1,0} & f_{i+1,1} & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{i,0} & f_{i,1} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

• 当前字符为 1，\(\begin{bmatrix} f_{i+1,0} & f_{i+1,1} & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{i,0} & f_{i,1} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

• 当前字符为 ?，\(\begin{bmatrix} f_{i+1,0} & f_{i+1,1} & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} f_{i,0} & f_{i,1} & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\)

因为还要支持带修，于是用线段树维护矩阵即可。

思考清楚后代码写起来很快，没记错的话我当时写了 \(15\) 分钟一遍过。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ls(p) (p << 1)
#define rs(p) (p << 1 | 1)
typedef long long ll;
const int N = 100005, mod = 998244353;
int n, Q;
char s[N];
struct mat {
	int a[3][3];
	
	mat operator * (const mat &x) const {
		mat res; memset(res.a, 0, sizeof res.a);
		for (int i = 0; i < 3; ++i)
			for (int j = 0; j < 3; ++j)
				for (int k = 0; k < 3; ++k)
					res.a[i][j] = (res.a[i][j] + 1ll * a[i][k] * x.a[k][j] % mod) % mod;
		return res;
	}
} f;

mat calc(char ch) {
	mat res; memset(res.a, 0, sizeof res.a);
	if (ch == '0') {
		res.a[0][0] = res.a[1][0] = res.a[1][1] = res.a[2][0] = res.a[2][2] = 1;
	}
	else if (ch == '1') {
		res.a[0][0] = res.a[0][1] = res.a[1][1] = res.a[2][1] = res.a[2][2] = 1;
	}
	else {
		res.a[0][0] = res.a[1][0] = res.a[2][0] = res.a[0][1] = res.a[1][1] = res.a[2][1] = res.a[2][2] = 1;
	}
	return res;
}

struct Segment_Tree {
	mat val[N*4];
	
	void pushup(int p) { val[p] = val[ls(p)] * val[rs(p)]; }
	
	void build(int p, int l, int r) {
		if (l == r) return void(val[p] = calc(s[l]));
		int mid = l + r >> 1;
		build(ls(p), l, mid), build(rs(p), mid + 1, r);
		pushup(p);
	}
	
	void change(int p, int l, int r, int x, char v) {
		if (l == r) return void(val[p] = calc(v));
		int mid = l + r >> 1;
		if (x <= mid) change(ls(p), l, mid, x, v);
		else change(rs(p), mid + 1, r, x, v);
		pushup(p);
	}
} sTr;

int main() {
	memset(f.a, 0, sizeof f.a); f.a[0][2] = 1;
	scanf("%d%d", &n, &Q);
	scanf("%s", s + 1);
	sTr.build(1, 1, n);
	while (Q--) {
		int x; char ch[2]; scanf("%d%s", &x, ch);
		sTr.change(1, 1, n, x, ch[0]);
		mat tmp = f * sTr.val[1];
		printf("%d\n", (tmp.a[0][0] + tmp.a[0][1]) % mod);
	}
	return 0;
}