ABC235G

首先有一个 $\mathcal O(N^2)$ 做法。

考虑容斥掉条件一，令 $g(i)$ 表示恰好有 $i$ 个花园空着的方案数，$f(i)$ 表示钦定有 $i$ 个花园空着，剩下无限制的方案数。

则有 $g(0)=\sum\limits_{i=0}^{N}(-1)^if(i)$。

而

$$f(i)=\binom{N}{i}\sum_{a=0}^{\min(A,N-i)}\binom{N-i}{a}\times \sum_{b=0}^{\min(B,N-i)}\binom{N-i}{b}\times \sum_{c=0}^{\min(C,N-i)}\binom{N-i}{c}$$

因此

$$g(0)=(-1)^i\binom{N}{i}\sum_{a=0}^{\min(A,N-i)}\binom{N-i}{a}\times \sum_{b=0}^{\min(B,N-i)}\binom{N-i}{b}\times \sum_{c=0}^{\min(C,N-i)}\binom{N-i}{c}$$

直接做是 $\mathcal O(n^2)$ 的，Code。

考虑写的好看一点，变成：

$$(-1)^{N-i}\binom{N}{i}\sum_{a=0}^{\min(A,i)}\binom{i}{a}\times \sum_{b=0}^{\min(B,i)}\binom{i}{b}\times \sum_{c=0}^{\min(C,i)}\binom{i}{c}$$

先把这个式子放一放，令

$$f_M(N)=\sum\limits_{i=0}^{\min(N,M)}\dbinom{N}{i}$$

初值为 $f_M(0)=1$。

则可以 $\mathcal O(1)$ 计算出

$$f_M(N+1)=\sum\limits_{i=0}^{\min(N+1,M)}\dbinom{N+1}{i}$$

当 $N+1\le M$ 时，则有

$$f_M(N+1)=\sum\limits_{i=0}^{N+1}\dbinom{N+1}{i}=2^{N+1}$$

所以

$$f_M(N+1)=2\times f_M(N)$$

那么如果 $N+1\gt M$ 时呢？

考虑放在一张网格图上，借用一下官方题解的图：

考虑两者之间的联系，一个是走 $N$ 步走到一个红色点的方案数，一个是走 $N+1$ 步走到一个蓝色点的方案数。

发现从任意一个红色点，向上和向右都能走到一个蓝色点，除了最下面的点，它只能向上走到一个蓝色点，不难发现走到这个点的方案数就是 $\dbinom{N}{M}$。

所以

$$f_M(N+1)=2\times f_M(N)-\binom{N}{M}$$

但是你发现 $N\lt M$ 即 $N+1\le M$ 的时候，$\dbinom{N}{M}=0$，所以其实两者的式子是一样的。

由此，可以在 $\mathcal O(1)$ 内由

$$\sum_{a=0}^{\min(A,i)}\binom{i}{a},\sum_{b=0}^{\min(B,i)}\binom{i}{b}, \sum_{c=0}^{\min(C,i)}\binom{i}{c}$$

推出

$$\sum_{a=0}^{\min(A,i+1)}\binom{i+1}{a},\sum_{b=0}^{\min(B,i+1)}\binom{i+1}{b}, \sum_{c=0}^{\min(C,i+1)}\binom{i+1}{c}$$

于是总时间复杂度 $\mathcal O(N)$。

Code