ABC273 E~G

E：

考虑维护当前所在位置的指针。

设当前点为 $u$。

对于第一个操作，我们可以将 $u$ 新增一个儿子 $x$，并将指针转移到 $x$。

对于第二个操作，把指针转移到 $fa_u$ 即可。

对于第三个操作，我们可以开一个 map，将点 $u$ 放到编号为 $x$ 的 map 中。

对于第四个操作，将指针转移到 $map_x$ 即可。

时间复杂度 $\mathcal O(Q\log Q)$。

Code

F：

离散化后区间 DP，类似关路灯。

Code

G：

如果 $\sum R_i\ne \sum C_i$，显然答案是 $0$。

接下来假设都满足 $\sum R_i=\sum C_i$。

我们一行一行的填下去，当填到第 $i$ 行的时候，需要满足以下条件：

• $\sum_{j=1}^N A_{i,j}=R_i$
• $\forall j,C^{′}_{i,j}=C_j-\sum_{k=1}^{i}A_{k,j}\ge0$

$C^{′}_{i,j}$ 就是填到第 $i$ 行第 $j$ 列还能填的。

注意到最终合法的状态就是填完 $N$ 行之后所以的 $C^{′}_{N,j}$ 都为 $0$。

设 $f_{i,x}$ 表示填了前 $i$ 行并且目前有 $x$ 列 $j$ 满足 $C^′_{i,j}=2$ 的方案数。

设 $y$ 为目前有 $y$ 列 $j$ 满足 $C^′_{i,j}=1$。

则有

$$\sum_{j=1}^N C^′_{i,j}=y+2x$$

那么

$$y=\sum_{j=1}^N C^′_{i,j}-2x$$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{j=1}^N (C_j-\sum_{k=1}^iA_{k,j})-2x$$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{j=1}^N C_j-\sum_{j=1}^N\sum_{k=1}^iA_{k,j}-2x$$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{j=1}^N C_j-\sum_{k=1}^i\sum_{j=1}^NA_{k,j}-2x$$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum_{j=1}^NC_j-\sum_{k=1}^iR_k-2x$$

所以 $y$ 就能用 $x$ 表示了。

设 $x_0$ 表示 $j$ 的数量满足 $C^′_{0,j}=C_j=2$。

则一开始 $f_{0,x_0}=1$，其余均为 $0$。

然后考虑转移。

如果 $R_i=0$，则有

$$f_{i,x}=f_{i-1,x-1}$$

如果 $R_i=1$，则有

$$f_{i,x}=f_{i-1,x+1}\times (x+1)+f_{i-1,x}\times (y+1)$$

如果 $R_i=2$，则有

$$f_{i,x}=f_{i-1,x+1}\times (x+1)+f_{i-1,x+2}\times \binom{x+2}{2}+f_{i-1,x}\times \binom{y+2}{2}+f_{i-1,x+1}\times (x+1)y$$

最终答案就是 $f_{N,0}$。

时间复杂度 $\mathcal O(N^2)$。

Code