CF932E

先介绍这样一个等式：

$$n^m=\sum_{i=1}^{m}\begin{Bmatrix}m\\ i\end{Bmatrix}\times i!\times \binom{n}{i}$$

等式左边的组合意义是 $m$ 个不同的球放入 $n$ 个不同的盒子里的方案数。

右边就是枚举非空盒子的数量 $i$，然后就是从 $n$ 个里面选出 $i$ 个盒子，乘上 $i!$ 之后盒子就被认为是相同的了，然后再乘上把 $m$ 个不同的球放入 $i$ 个相同的盒子的方案数，即第二类斯特林数 $\begin{Bmatrix}m\\ i\end{Bmatrix}$。

然后这题要求的是

$$\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}i^k$$

直接用上面的等式暴力展开：

$$=\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\ j\end{Bmatrix}i^{\underline j}$$

$$=\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\ j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}\binom{i}{j}$$

$$=\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\ j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}$$

$$=\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\ j\end{Bmatrix}j!\binom{n}{j}\sum_{i=0}^{n-j}\binom{n-j}{i}$$

$$=\sum_{j=1}^{k}\begin{Bmatrix}k\\ j\end{Bmatrix}j!\binom{n}{j}2^{n-j}$$

然后 $\mathcal O(k^2)$ 预处理第二类斯特林数什么的，就好了。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 5005, mod = 1e9 + 7;
int n, k;
int ans;
int S[N][N];

int qpow(int x, int y) {
	int res = 1;
	while (y) {
		if (y & 1) res = 1ll * res * x % mod;
		x = 1ll * x * x % mod;
		y >>= 1;
	}
	return res;
}

void init() {
	S[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= k; ++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j)
			S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + 1ll * S[i - 1][j] * j % mod) % mod;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	init();
	for (int i = 1; i <= min(n, k); ++i) {
		int tmp = 1ll * S[k][i] * qpow(2, n - i) % mod;
		for (int j = n - i + 1; j <= n; ++j) tmp = 1ll * tmp * j % mod;
		ans = (ans + tmp) % mod;
	}
	printf("%d", ans);
	return 0;
}