ABC227F
设一条路径上的权值从大到小依次为 w1,w2,⋯,wp,其中 p=n+m−1,那么它的答案是 ∑ki=1wi。
若 wi←max(0,wi−wk),那么 ∑wi+kwk 即为答案。
可以考虑暴力枚举权值 x 并令 wi←max(0,wi−x),然后 DP,将其值增加 kx 并更新答案,这样一定会考虑到最优答案。如何证明不会枚举到不合法的情况?
- 若 x<wk,那么 ∑pi=1max(0,wi−x)+kx=∑ki=1wi+∑pi=k+1max(0,wi−x)≥∑ki=1wi
- 若 x>wk,那么 ∑pi=1max(0,wi−x)+kx=∑ki=1max(0,wi−x)+kx≥∑ki=1wi
故不合法的路径不会更新答案。
时间复杂度 O(n2m2)。
Code:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 35;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n, m, k;
int a[N][N];
ll f[N][N];
ll solve(int x) {
memset(f, 0x3f, sizeof f), f[1][0] = f[0][1] = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j) {
f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
if (a[i][j] >= x) f[i][j] += a[i][j] - x;
}
return f[n][m] + 1ll * k * x;
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
scanf("%d", &a[i][j]);
ll ans = inf;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
for (int j = 1; j <= m; ++j)
ans = min(ans, solve(a[i][j]));
printf("%lld", ans);
return 0;
}
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