ABC221H

题意：对于每个 $k=1\sim n$，统计满足以下要求的无序集合个数：

• 元素均为正整数。
• 恰有 $k$ 个元素。
• 同一个数最多出现 $m$ 次。
• 元素和为 $n$。

答案对 $998244353$ 取模。

$m\leq n\leq 5000$。

对于一种方案，将集合中的数从大到小排列，画出直方图。

直方图的上边缘是一条路径，要求如下：

• 从左侧某处出发
• 单调不升
• 围成面积为 $n$
• 最多横向连续移动 $m$ （这个横过来不好做）
• 恰横向移动了 $k$

横过来看，发现路径变成了以下这样：

• 从左侧下方某处出发
• 围成面积为 $n$
• 最多纵向连续移动 $m$
• 恰纵向移动了 $k$

考虑 DP，记 $f_{i,j}$ 表示当前面积为 $i$，高度为 $j$ 的方案数。

枚举上一行的高度，转移如下：

$$f_{i,j}=\sum\limits_{k=\max(1,j-m)}^{\min(j,i-j)}f_{i-j,k}$$

初值为 $f_{0,0}=1$，最终就是输出 $f_{n,*}$。

前缀和优化，时间复杂度 $\mathcal O(n^2)$。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 5005, mod = 998244353;
int n, m;
int f[N][N], sum[N][N];

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	sum[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
		for (int j = 1; j <= i; ++j) {
			f[i][j] = sum[i - j][min(j, i - j)];
			if (j > m) (f[i][j] += mod - sum[i - j][min(j - m - 1, i - j)]) %= mod;
			sum[i][j] = (sum[i][j - 1] + f[i][j]) % mod;
		}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) printf("%d\n", f[n][i]);
	return 0;
}