洛谷 P2501

第一问非常经典，构造 \(b_i=a_i-i\)，那么答案就是 \(n-\) \(b\) 的最长不下降子序列的长度。

考虑第二问，设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的最长不下降子序列的长度，\(pre_i\) 是能转移到 \(i\) 的集合，即 \(\forall j\in pre_i, f_i=f_j+1\) 且 \(b_j\le b_i\)。那么设 \(g_i\) 表示在改变的数最小的前提下，前 \(i\) 个数合法的最小代价，则 \(g_i=\min\limits_{j\in pre_i}g_j+w(j+1,i-1)\)，其中 \(w(l,r)\) 表示把区间 \([l,r]\) 变的合法的最小代价。

结论：对于区间 \([l,r]\)，使其单调不降，则存在分界点 \(k\) 满足 \(b^{′}_i=b_l(i\le k),b^{′}_{i}=b_r(i\gt k)\)。此时代价最小。

证明可以看这位大佬的，我就懒得写了。

具体细节看代码。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
typedef long long ll;
const int N = 35005, inf = 0x3f3f3f3f;
int n;
int a[N];
int dp[N], len, g[N];
vector <int> vec[N];
ll f[N], pre[N], suf[N];

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]), a[i] -= i;
	a[n + 1] = inf;
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
		int l = 0, r = len;
		while (l < r) {
			int mid = l + r + 1 >> 1;
			if (dp[mid] <= a[i]) l = mid;
			else r = mid - 1;
		}
		if (l == len) ++len;
		dp[g[i] = l + 1] = a[i], vec[g[i]].pb(i);
	}
	vec[0].pb(0);
	printf("%d\n", n - len + 1);
	memset(f, 0x3f, sizeof f), f[0] = 0, a[0] = -inf;
	for (int i = 1; i <= n + 1; ++i) {
		for (auto j : vec[g[i] - 1]) {
			if (j > i || a[j] > a[i]) continue;
			pre[j] = 0;
			for (int k = j + 1; k < i; ++k) pre[k] = pre[k - 1] + abs(a[k] - a[j]);
			suf[i - 1] = 0;
			for (int k = i - 2; k >= j; --k) suf[k] = suf[k + 1] + abs(a[k + 1] - a[i]);
			for (int k = j; k < i; ++k) f[i] = min(f[i], f[j] + pre[k] + suf[k]);
		}
	}
	printf("%lld", f[n + 1]);
	return 0;
}