CF1468A

首先观察最长几乎上升序列有什么性质。

发现可以从这样的序列中提取出一个非严格单调递增子序列，并且该子序列中任意两个相邻的数之间可以至多插入一个比它们两个都大的数。

这样就可以 DP 了。

设 \(f_i\) 表示以第 \(i\) 个结尾，强制选第 \(i\) 个所能得到的最长几乎上升序列的长度。

则 \(f_i=\max\limits_{j\lt i,a_j\le a_i}\left\{f_j+1+w(i,j)\right\}\)。

其中 \(w(i,j)=0/1\) 表示 \([j+1,i-1]\) 有没有比 \(a_i\) 和 \(a_j\) 都大的数。

对于每个 \(i\) 用单调栈预处理出 \(pre_i\) 表示 \(i\) 左边第一个大于 \(a_i\) 的位置，没有则为 \(0\)。

则 \(f_i=\max(\max\limits_{j\lt pre_i,a_j\le a_i}\left\{f_j\right\}+2,\max\limits_{pre_i\le j\lt i,a_j\le a_i}\left\{f_j\right\}+1)\)。

将 \(a\) 从小到大排序后依次加入，发现涉及到的操作有求前缀 \(\max\)，单点修改，用树状数组维护即可。

具体细节看代码。

Code：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
typedef pair <int, int> pii;
const int N = 500005;
int T;
int n;
pii a[N]; int stk[N], top;
int f[N], pre[N];
int c[N];

void upd(int x, int y) { for (; x <= n; x += x & -x) c[x] = max(c[x], y); }
int query(int x) { int res = 0; for (; x; x -= x & -x) res = max(res, c[x]); return res; }

void solve() {
	scanf("%d", &n);
	memset(c + 1, 0, sizeof (int) * n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i].fi), a[i].se = i;
	top = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		while (top && a[stk[top]] <= a[i]) --top;
		pre[i] = stk[top], stk[++top] = i;
	}
	sort(a + 1, a + n + 1);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int _ = a[i].se;
		f[_] = query(_ - 1) + 1;
		if (pre[_]) f[_] = max(f[_], query(pre[_] - 1) + 2);
		upd(_, f[_]);
	}
	printf("%d\n", query(n));
}

int main() {
	scanf("%d", &T);
	while (T--) solve();
	return 0;
}