最长公共子序列问题--构造回文字符串

• 今天做腾讯编程题，碰到了一个构造回文字符串的问题，一开始我想到的是暴利法去解决这个问题，发现有点复杂；之后想到了这个东西有点像最长公共子序列问题。但是动态规划那个算法忘了咋回事了，上网找了找，当做复习一遍了。
• 一、什么是最长公共子序列
• 什么是最长公共子序列呢？举个简单的例子吧，一个数列S，若分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。
   举例如下，如：有两个随机数列，1 2 3 4 5 6 和 3 4 5 8 9，则它们的最长公共子序列便是：3 4 5。
  一直不明白：最长公共子串和最长公共子序列的区别。上网查了下，最长公共子串（Longest Common Substirng）和最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）的区别为：子串是串的一个连续的部分，子序列则是从不改变序列的顺序，而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列；也就是说，子串中字符的位置必须是连续的，子序列则可以不必连续。

 

二、动态规划算法

 

   事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性质。

   记：

   Xi = <x1,x2,x3,....xi> 即X序列的前i个字符（1<= i <= m）(前缀)

   Yj = <y1,y2,y3,....yi> 即Y序列的前j个字符（1<= j <= m）(前缀)

   

   假定Z = <z1,z2,z3,...zk>是LCS（X,Y)中的一个。

   ·若xm = yn（最后一个字符相同），则不难用反正法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn，且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1,Yn-1)，即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X,Y)）的长度等于LCS(Xm-1,Yn-1)的长度加1）。

   ·若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)；类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。

 

   由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。

 

   也就是说，解决这个LCS问题，你要求三个方面的东西：

   1> LCS（Xm-1，Yn-1）+1；

   2> LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；

   3> max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}；

 

二、动态规划算法解LCS问题

 

2.1 最长公共子序列的结构

 

   最长公共子序列的结构有如下表示：

   

   设序列X=<x1, xm="" …,="" x2,="">和Y=<y1, …,="" yn="" y2,="">的一个最长公共子序列Z=<z1, …,="" zk="" z2,="">，则：

   1> 若 xm=yn，则 zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列； 

   2> 若 xm≠yn且 zk≠xm ，则 Z是 Xm-1和 Y的最长公共子序列；

   3> 若 xm≠yn且 zk≠yn ，则 Z是 X和 Yn-1的最长公共子序列；

   其中Xm-1=<x1, …,="" x2,="" xm-1="">，Yn-1=<y1, …,="" y2,="" yn-1="">，Zk-1=<z1, …,="" z2,="" zk-1="">。

 

2.2 子问题的递归结构

 

   由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出Xm=<x1, xm="" …,="" x2,="">和Yn=<y1, …,="" yn="" y2,="">的最长公共子序列，可按如下方式递归的进行：

   ·当xm = yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm或yn，即可得到X和Y的一个最长公共子序列；

   ·当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。

 

   由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1以及Xm-1和Y的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。

 

   与矩阵乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度，其中Xi=<x1, …,="" x2,="" xi="">，Yj=<y1, …,="" y2,="" yj="">。当i = 0或j = 0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j] = 0。其他情况下，可得递归关系如下所示：

 

   

2.3 计算最优值

 

   直接利用上节节末的递归式，我们将很容易就能写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其计算时间是随输入长度指数增长的。由于在所考虑的子问题空间中，总共只有O(m*n)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

 

   计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_Length(X,Y)，以序列X=<x1, xm="" …,="" x2,="">和Y=<y1, …,="" yn="" y2,="">作为输入。输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储Xi与Yj的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。

 由算法LCS_Length计算得到的数组b 可用于快速构造序列X=<x1, xm="" …,="" x2,="">和Y=<y1, …,="" yn="" y2,="">的最长公共子序列。首先从b[m,n]开始，沿着其中的箭头所指的方向在数组b中搜索。

   ·当 b[i,j]中遇到"↖"时（意味着 xi=yi是LCS的一个元素 ），表示 Xi与 Yj的最长公共子序列是由 子序列Xi-1与 Yj-1的最长公共子序列在尾部加上xi得到的子序列；

   ·当 b[i,j]中遇到"↑" 时，表示 Xi与 Yj的最长公共的最长公共子序列和Xi-1与 Yj的最长公共子序列 相同；

   ·当b[i,j]中遇到"←" 时，表示Xi与Yj的最长公共子序列和Xi与Yj-1的最长公共子序列相同；

 

   这种方法是按照反序来查找LCS的每一个元素的。由于每个数组单元的计算花费O(1)时间，算法LCS_Length耗时O(mn)。

 

2.4 构造最长公共子序列

 

   下面的算法LCS(b,X,i,j)实现根据b的内容打印出Xi与Yi的最长公共子序列。通过算法的调用LCS（b,X,length[X],length[Y])，便可打印出序列X和Y的最长公共子序列。

 

在LCS算法中，每一次递归调用使i或j减1，因此算法的时间复杂度为O(m+n)。

   例如，设所给的两个序列为X=<a，b，c，b，d，a，b>和Y=<b，d，c，a，b，a>。由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：

 

   

   

   我来说明下此图（参考算法导论）。在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和 Y={B，D，C，A，B，A}上，由LCS_LENGTH计算出的表c和b。第i行和第j列中的方块包含了c[i，j]的值以及指向b[i，j]的箭头。在c[7,6]的项4，表的右下角为X和Y的一个LCS<b，c，b，a>的长度。对于i，j>0，项c[i，j]仅依赖于是否有xi=yi，及项c[i-1，j]和c[i，j-1]的值，这几个项都在c[i，j]之前计算。为了重构一个LCS的元素，从右下角开始跟踪b[i，j]的箭头即可，这条路径标示为阴影，这条路径上的每一个“↖”对应于一个使xi=yi为一个LCS的成员的项（高亮标示）。

 

所以根据上述图所示的结果，程序将最终输出：“B C B A”。

 

 

• 构造回文题目
  

  给定一个字符串s，你可以从中删除一些字符，使得剩下的串是一个回文串。如何删除才能使得回文串最长呢？
  输出需要删除的字符个数。

  
  输入描述:

  输入数据有多组，每组包含一个字符串s，且保证:1<=s.length<=1000.
  

   

  输出描述:

  对于每组数据，输出一个整数，代表最少需要删除的字符个数。

  输入例子:
  abcda
  google 

  输出例子:
  2
  2
  
  解析：这个题目最简单的方法就是先将字符串取反，然后再将反字符串和原字符串一起找最长公共子序列，最后就得到了最长的回文字符串，最后再加减长度就行了。

• #include<iostream>
  #include<string.h>
  #include<algorithm>
  using namespace std;
  const int maxsize=1010;
  int temp[maxsize][maxsize];
  
  int get_delete_number(string &s1){
      string s2(s1);
      reverse(s2.begin(),s2.end());//字符串反转
      //反转函数之后求最长公共子序列
      int len=s1.length();
      memset(temp,0,sizeof temp);//对定义的字符串进行初始化
      for(int i=0;i<len;i++)
      for(int j=0;j<len;j++){//求最长公共子序列的方法
          if(s1[i]==s2[j])
              temp[i+1][j+1]=temp[i][j]+1;
          else
              temp[i+1][j+1]=max(temp[i][j+1],temp[i+1][j]);
      }
      return len-temp[len][len];
  }
  int main(){
      string s;
      while(getline(cin,s)){
          cout<<get_delete_number(s)<<endl;
      }
  }