【ACM小思】一道魔改费用流引发的思考

魔改费用流一道

有n个城市，p条双向道路把这些城市连接起来，一对城市之间可能有多条道路连接。FJ要找到t条从城市1到城市n的路径，不同的路径不能包含相同的道路。在这一前提条件下，FJ希望所有路径中经过的最长的道路最短。

​ 乍一看是一个网络流的问题

​ 路径不能重复，那就把边的容量当做1，最后求汇点流量为t的情况，增广的过程其实就是找路的过程。

但问题是怎么求出最短的最长边权？一种朴素的想法是二分答案，让所有边权超出要求的边断流，然后验证条件就是最大流是否大于t。

​ 已经是个不错的算法了。

​ 但是，我们还可以做得更好！

​ 还记得费用流是怎么做的吗？从源到汇不断找最短路，找到一次增广一次。而最短路的性质是“找出路径上所有边权的和”，但是我们这里想要的是保证这两个点之间的最大边权最短。

​ 最小生成树？

​ 对，实际上无论是最短路和最小生成树，都是求出“满足特定性质的路径”的一种方法。

​ 那我们不妨把最小费用流改一改？就像我们之前对最短路做的拓展思考一样。

​ 正解，就是如此。