CF718C

线段树维护矩阵。

本以为会调不知道多长时间，结果不到 50 mins 就完成了。

初始想法是维护原序列，在求值的时候再求斐波那契数。但是感觉跑的慢。

然后决定维护斐波那契数列（非矩阵），但是发现每次 update 时构造新矩阵比较麻烦。

最后才想到把矩阵当成点来维护。

测完跑了 1.1min，看了下题解区发现思路也差不太多？

Solution

我们在每个点维护 \(\begin{bmatrix} f_i & f_{i-1} \\ \end{bmatrix}\) 这样一个矩阵。

对于建树，我们直接矩阵快速幂处理出当前 \(f_{a_i}\) 所在的矩阵即可。

对于取和操作，和维护整数时一样，每次统计矩阵 sum.z[1][1] 的值即可。

剩下的操作才是重点。

对于修改操作，在原数列上是 \(a_i \to a_i +k\)，换到斐波那契数就是 \(f_{a_i}\to f_{a_i+k}\)，也就是向后移 \(k\) 项。

根据矩阵求斐波那契数列的式子，我们在当前点维护的矩阵上乘一个 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{k-1}\) 即可。而这个矩阵用矩阵快速幂现求即可。

对于节点信息的上传和懒标记的下传，我们直接相加。下传的懒标记就是上面的 \(k-1\) 次方矩阵。

因为矩阵的乘法满足分配律，所以我们先将矩阵相加再相乘对答案无影响。

至于重载加法乘法运算符什么的就不赘述了。

几个问题

• 注意取模并开 long long。

• 注意每次矩阵快速幂时要将 \(\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) 这个矩阵重置。

• 注意懒标记初始是单位矩阵而不是零矩阵。

• 建树时记得特判一下 \(a[i]=1\ \texttt{or} \ 2\) 的情况。

Code

写的比较丑，大家将就看吧。

#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 400010
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Mod 1000000007
#define int long long

using namespace std;

int n,m,a[maxn];

int read(){
  int s=0,w=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
  return s*w;
}

struct Matrix{
  int z[4][4];
  Matrix(){memset(z,0,sizeof z);}
  Matrix operator * (const Matrix &b) const{
    Matrix res;
    for(int i=1;i<=2;i++)
      for(int j=1;j<=2;j++)
        for(int k=1;k<=2;k++)
          res.z[i][k]=(res.z[i][k]+z[i][j]*b.z[j][k])%Mod;
    return res;
  }
  
  Matrix operator + (const Matrix &b) const{
    Matrix res;
    res.z[1][1]=(z[1][1]+b.z[1][1])%Mod;
    res.z[1][2]=(z[1][2]+b.z[1][2])%Mod;
    res.z[2][1]=(z[2][1]+b.z[2][1])%Mod;
    res.z[2][2]=(z[2][2]+b.z[2][2])%Mod;
    return res;
  }
}ans,X;

Matrix quickpow(Matrix Now,int y){
  while(y){
    if(y&1) Now=Now*X;
    X=X*X;y>>=1;
  }
  return Now;
}

namespace Seg{
  #define ls x<<1
  #define rs x<<1|1

  Matrix sum[maxn],lazy[maxn];
  void pushup(int x){
    sum[x]=sum[ls]+sum[rs];
  }
  
  void pushdown(int x){
    if(lazy[x].z[1][1]==1&&lazy[x].z[2][2]==1&&!lazy[x].z[1][2]&&!lazy[x].z[2][1]) return;
    sum[ls]=sum[ls]*lazy[x];sum[rs]=sum[rs]*lazy[x];
    lazy[ls]=lazy[ls]*lazy[x];lazy[rs]=lazy[rs]*lazy[x];
    lazy[x].z[1][1]=lazy[x].z[2][2]=1;lazy[x].z[1][2]=lazy[x].z[2][1]=0;
  }
  
  void build(int x,int l,int r){
    lazy[x].z[1][1]=lazy[x].z[2][2]=1;
    if(l==r){
      X.z[2][2]=0;
      ans.z[1][1]=ans.z[1][2]=1;
      X.z[1][1]=X.z[1][2]=X.z[2][1]=1;
      if(a[l]==1) sum[x].z[1][1]=1;
      else if(a[l]==2) sum[x].z[1][1]=sum[x].z[1][2]=1;
      else sum[x]=quickpow(ans,a[l]-2);
      return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
    pushup(x);
  }
  
  void update(int x,int l,int r,int L,int R,Matrix k){
    if(L<=l&&R>=r){
      sum[x]=sum[x]*k;
      lazy[x]=lazy[x]*k;
      return;
    }
    int mid=l+r>>1;pushdown(x);
    if(L<=mid) update(ls,l,mid,L,R,k);
    if(R>=mid+1) update(rs,mid+1,r,L,R,k);
    pushup(x);
  }
  
  int query(int x,int l,int r,int L,int R){
    int ans=0;
    if(L<=l&&R>=r)
      return sum[x].z[1][1]%Mod;
    int mid=l+r>>1;pushdown(x);
    if(L<=mid) ans=(ans+query(ls,l,mid,L,R))%Mod;
    if(R>=mid+1) ans=(ans+query(rs,mid+1,r,L,R))%Mod;
    return ans;
  }
}

signed main(){
  n=read();m=read();
  for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
  Seg::build(1,1,n);
  for(int i=1,opt,x,y,k;i<=m;i++){
    opt=read();x=read();y=read();
    if(opt==1){
      k=read();X.z[2][2]=0;
      X.z[1][1]=X.z[1][2]=X.z[2][1]=1;
      Matrix Base=quickpow(X,k-1);
      Seg::update(1,1,n,x,y,Base);
    }
    else printf("%lld\n",Seg::query(1,1,n,x,y)%Mod);
  }
  return 0;
}