洛谷P3403

神仙建模题。

Description

一栋有 \(h\) 层的楼，初始位置为 \(1\)，有如下操作：

• 向上移动 \(x\) 层；
• 向上移动 \(y\) 层；
• 向上移动 \(z\) 层；
• 回到 \(1\) 层。

问可以到达的楼层数。

Solution

首先数据 \(h\le 2^{63}-1\) 暴搜显然不行。然后就考虑楼层之间的关系。

比较容易想到的是，以楼层为点来建图。但是如果直接暴力建每个楼层之间的关系的边，同样会因为数据范围太大而爆炸。

所以我们换个思路，考虑给出的操作之间的关系。

我们可以先处理其中两种上升操作，然后将这些情况求出来，再反过来找第三种上升操作能达到的新楼层。

这里设 \(\text{dis}(i)\) 表示只用操作 \(2\) 和 \(3\) 能到达的在 \(\bmod x\) 意义下能到达 \(i\) 的最小楼层。

然后可以得出：

\(\begin{cases} \text{dis}[(i+y)\bmod x]=\min\{\text{dis}(i\bmod x)+y\}\\ \text{dis}[(i+z)\bmod x]=\min\{\text{dis}(i\bmod x)+z\} \end{cases}\)

这和我们的最短路更新方式很相似。

我们就可以考虑将 \(i+y,i+z\) 作为点，用最短路求出所有的 \(\text{dis}(i)\) \((i\in [0,x))\)。

接下来我们考虑 \(\text{dis}\) 的作用。

如果我们知道只通过操作 \(2,3\) 能到达的最小高度，这说明在此基础上能达到的剩下的楼层只需要由操作 \(1\) 来补全即可。

如果上面的话不理解可以手动模拟一下。而且可以保证没有漏掉的情况。

所以求出所有的 \(\text{dis}\) 之后，答案就是 \(\large{\sum_{i=0}^{x-1}[\frac{(h-\text{dis}(i))}{x}+1]}\) \((\text{dis}(i)\le h)\)。

上面这个式子也可以手动模拟一下，应该不是很难理解。

至于为什么每次答案要加一，因为我们每次统计答案要加上 \(\text{dis}(i)\) 这层本身。

Other things

但是还是存在 \(h\) 太大的问题，并且考虑到真正需要的下标都在 \([0,x)\) 范围内，所以我们只在这个范围内建边就好了。

另外要注意，因为楼层高度范围是 \([1,h]\)，所以 \(\text{dis}(1)=1\)。

最后，如果 \(x,y,z\) 中有至少一个是 \(1\)，就说明所有的楼层都可达，此时上面的都是扯淡，答案是 \(h\)。

剩下的细节都在代码里（也没什么细节）。

Code

#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 200100
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long

using namespace std;

bool vis[maxn];
int h,x,y,z,tot,ans;
int Dis[maxn],head[maxn];
struct edge{int fr,to,dis,nxt;}e[maxn<<2];

int read(){
  int s=0,w=1;char ch=getchar();
  while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0',ch=getchar();
  return s*w;
}

void add(int fr,int to,int dis){
  e[++tot]=(edge){fr,to,dis,head[fr]};head[fr]=tot;
}

void SPFA(){
  memset(Dis,INF,sizeof Dis);
  memset(vis,false,sizeof vis);
  deque<int> q;q.push_back(1);
  Dis[1]=1;vis[1]=true;
  while(!q.empty()){
    int u=q.front();
    q.pop_front();vis[u]=false;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
      int to=e[i].to;
      if(Dis[to]>Dis[u]+e[i].dis){
        Dis[to]=Dis[u]+e[i].dis;
        if(!vis[to]){
          vis[to]=1;
          if(!q.empty()&&Dis[q.front()]>Dis[to])q.push_front(to);
          else q.push_back(to);
        }
      }
    }
  }
}

signed main(){
  h=read();
  x=read();y=read();z=read();
  if(x==1||y==1||z==1){cout<<h;return 0;}
  for(int i=0;i<x;i++)
    add(i,(i+y)%x,y),add(i,(i+z)%x,z);
  SPFA();
  for(int i=0;i<x;i++)
    if(Dis[i]<=h) ans+=(h-Dis[i])/x+1;
  printf("%lld\n",ans);
  return 0;
}