四边形不等式
四边形不等式是一种比较生草常见的优化动态规划的方法
定义
一般的，如果对于任意的 \(a1 \leq a2 < b1 \leq b2\)，
有 \(m[a1,b1] + m[a2,b2] ≤ m[a1,b2] + m[a2,b1]\)，
那么 \(m[i,j]\) 满足四边形不等式
优化
设 \(m[i,j]\) 表示动态规划的状态量
\(m[i,j]\) 有类似如下的状态转移方程:
\(m[i,j] = min {\{ m[i,k] + m[k,j] | i≤k≤j \}}\)
\(m\) 满足四边形不等式是适用这种优化方法的必要条件
对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。
通常的动态规划的复杂度是 \(O( n^3 )\)，我们可以优化到 \(O( n^2 )\)
定义 \(s(i,j)\) 为函数 \(m(i,j)\) 对应的使得 \(m(i,j)\) 取得最小值的k值。
我们可以证明，\(s[i,j-1] ≤ s[i,j] ≤ s[i+1,j]\)
那么改变状态转移方程为:
\(m[i,j] = min {\{ m[i,k] + m[k,j] }|s[i,j-1] ≤ k ≤ s[i+1,j]\}\)
复杂度分析:不难看出，复杂度决定于s的值，以求 m[i,i+L] 为例，
\(( s[2,L+1] - s[1,L] ) + ( s[3,L+2] - s[2,L+1] )+ …+ ( s[n-L+1,n] - s[n-L,n-1] ) = s[n-L+1,n] - s[1,L] ≤ n\)
所以总复杂度是 \(O( n )\)
证明
对 \(s[i,j-1] ≤ s[i,j] ≤ s[i+1,j]\) 的证明:
设 \(mk[i,j] = m[i,k] + m[k,j]\) , $ s[i,j] = d$
对于任意 \(k < d\)，有 \(mk[i,j] ≥ md[i,j]\) ( 这里以 \(m[i,j] = min {\{ m[i,k] + m[k,j] \}}\) 为例 , max 的类似) ，
接下来只要证明 \(mk[i+1,j] ≥ md[i+1,j]\) ，
那么只有当 \(s[i+1,j] ≥ s[i,j]\) 时才有可能有 \(mk[i+1,j] ≥ md[i+1,j]\)
证明过程：
\(( mk[i+1,j] - md[i+1,j] ) - ( mk[i,j] - md[i,j] )\)
\(= ( mk[i+1,j] + md[i,j] ) - ( md[i+1,j] + mk[i,j] )\)
\(= ( m[i+1,k] + m[k,j] + m[i,d] + m[d,j] ) - ( m[i+1,d] + m[d,j] + m[i,k] + m[k,j] )\)
\(=( m[i+1,k] + m[i,d] ) - ( m[i+1,d] + m[i,k] )\)
\(\because\) \(m\) 满足四边形不等式
\(\therefore\) 对于 \(i < i+1 ≤ k < d\)
有 \(m[i+1,k] + m[i,d] ≥ m[i+1,d] + m[i,k]\)
\(\therefore\) \(( mk[i+1,j] - md[i+1,j] ) ≥ ( mk[i,j] - md[i,j] ) ≥ 0\)
\(\therefore\) \(s[i,j] ≤ s[i+1,j]\) ，同理可证 \(s[i,j-1] ≤ s[i,j]\)
证毕
扩展
以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。
解决这类问题的大概步骤是:
- 证明 \(w\) 满足四边形不等式，这里 \(w\) 是 \(m\) 的附属量，形如 \(m[i,j] = opt \{{ m[i,k] + m[k,j] + w[i,j] \}}\)，此时大多要先证明 \(w\) 满足条件才能进一步证明 \(m\) 满足条件
- 证明 \(m\) 满足四边形不等式
- 证明 \(s[i,j-1] ≤ s[i,j] ≤ s[i+1,j]\)
