概率论与数理统计笔记

目录

• 第一章: 概率论的基本概念
  • 古典概型
  • 几何概型
  • 公式求概率
    • 独立
    • 条件概率
    • 乘法公式
    • 贝叶斯公式与全概率公式 (💡注意是否为"完备事件组")
    • 最值公式
• 第二章: 一维随机变量及其分布
  • 随机变量与分布函数
  • 8个分布(1~5离散, 6~8连续)
    • 1.0-1分布
    • 2.二项分布
    • 3.几何分布
    • 4.超几何分布
    • 5.泊松分布
    • 6.均匀分布
    • 7.指数分布
      • 性质
    • 8.正态分布
      • 密度函数特殊 | 标准化
      • 常见变形
    • 例题
      • 复合型
  • 求函数分布
• 第三章: 多维随机变量
  • 独立性
  • 例题
  • 卷积公式
• 数字特征
  • 期望
    • 方差
    • 常用EX, DX
    • 协方差
    • 独立性与相关性
    • 切比雪夫不等式
  • 6

第一章: 概率论的基本概念

古典概型

\(P(A) = \frac{30!}{365^{30}}\)

\(P(B) = 1-\frac{C_{365}^{30}30!}{365^{30}}\)

\(P(C) = \frac{C_{30}^{3}3! {362}^{27}}{{365}^{30}}\)

\(P(1) = \frac{C_{20}^{15}40^{15}60^5}{100^{20}}\)

\(P(2) = \frac{C_{40}^{15}C_{60}^{5}}{C_{100}^{20}}\)

\(P(3) = \frac{40}{100}\)

\(P(4) = \frac{C_{40}^{1}A_{99}^{19}}{A_{100}^{20}} = \frac{40}{100}\)

几何概型

概率为零,不一定是不可能事件

公式求概率

1.②③对偶律

独立

相互独立 两两独立

• 必然事件与任何事件都相互独立
• 不可能事件φ与任何事件都相互独立

条件概率

乘法公式

🔥A

🔥B,C,D

贝叶斯公式与全概率公式 (💡注意是否为"完备事件组")

(1)中甲乙互斥,B1,B2是完备事件组
※(2)中B1,B2不是完备事件组
1️⃣\(A=\{命中\} B_{1}=\{甲射击\} B_{2}=\{乙射击\}\)
\(P(B_{1}|A) = \frac{P(AB_{1})}{P(A)} = \frac{P(B_1)P(A|B_{1})}{P(A)} = \frac{\frac{1}{2}*0.6}{\frac{1}{2}*0.6+\frac{1}{2}*0.5} = \frac{6}{11}\)
2️⃣

最值公式

第二章: 一维随机变量及其分布

随机变量与分布函数

分布函数

典型问题: 判分布,求分布

例题

8个分布(1~5离散, 6~8连续)

1.0-1分布

2.二项分布

3.几何分布

4.超几何分布

5.泊松分布

6.均匀分布

7.指数分布

有的教材写作:
\(f(x) = \left\{\begin{matrix} λe^{-λx} ,x>=0\\ 0 , x<0 \end{matrix}\right. \)
更能反映与泊松分布的关系

性质

8.正态分布

密度函数特殊 | 标准化

常见变形

例题

首先: F() = 1求未知数

复合型

(外二项分布,内指数分布)

(外二项分布,内均匀分布)

独立事件--贝叶斯---(二项分布求未知变量)--💡

求函数分布

一定在正概率密度区域上画

第三章: 多维随机变量

独立性

例题

卷积公式

数字特征

期望

方差

常用EX, DX

协方差

协方差等于零 <=> 无线性关系

独立性与相关性

切比雪夫不等式

6