POJ-1664

 

放苹果

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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

 

本题可以看成典型的整数分解问题。将m个苹果放到n个盘子里时可以分为两种情况，我们设a(m,n)表示结果总数，当全部n个盘子都不为0时，即每个盘子至少有一个苹果，这时我们可以将总数看为a(m-n,n)；当有一个空盘时，可以看做m个苹果放入n-1个盘子中，即a(m,n-1)（无需考虑多个空盘的情况，递归时自然会出现）。这时我们可得方程a(m,n)=a(m,n-1)+a(m-n,n)。下面我们来讨论几种特殊情况，首先就是m为1/0和n为1/0的情况，显而易见，a(m,1)、a(m,0)、a(1,n)、a(0,n)的结果皆为1。其次就是m<n时，a(m,n)的结果与a(m,m)的结果相同，故当m<n时，a(m,n)=a(m,m)。

我们也可以这样理解a(m,n-1)加一个空盘0即为a(m,n)含0的情况，a(m-n,n)在每一个盘子里加1个苹果即为a(m,n)且不会影响结果，这就是不含0的情况。所以a(m,n-1)和a(m-n,n)组成了a(m,n)即a(m,n)=a(m,n-1)+a(m-n,n)。

附AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAX=12;

int a[MAX][MAX];

int main(){
    int i,j,t,m,n;
    for(i=0;i<MAX;i++){
        a[0][i]=1;
        a[1][i]=1;
        a[i][0]=1;
        a[i][1]=1;
    }
    for(i=2;i<MAX;i++){
        for(j=2;j<MAX;j++){
            if(i>=j)
            a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-j][j];
            else
            a[i][j]=a[i][i];
        }
    }
    while(~scanf("%d",&t)){
        while(t--){
            scanf("%d %d",&m,&n);
            if(m>=n)
            printf("%d\n",a[m][n]);
            else
            printf("%d\n",a[m][m]);
        }
    }    return 0;    
}