时空复杂度

时空复杂度

一、概念

在这里，我们引入了时间复杂度和空间复杂度这两个概念作为选择适合算法的重要依据，一般对比算法的好坏基本上从它的时间复杂度和空间复杂度来综合判断就可以得出哪个更适合，复杂度通常来说越小越好。

算法的时间复杂度和空间复杂度的作用：时间复杂度是指执行这个算法所需要的计算工作量；而空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。时间和空间（即寄存器）都是计算机资源的重要体现，而算法的复杂性就是体现在运行该算法时的计算机所需的资源多少。

二、时间复杂度

时间复杂度的公式是： T(n) = O( f(n) )，其中f(n) 表示每行代码执行次数之和。

常见的时间复杂度有以下七种：O（1）常数型；O（log2N）对数型，O（N）线性型，O（Nlog2N）二维型，O（N^{2)平方型，O（N}3)立方型，O（2^N）指数型。

1.常数阶O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

2.线性阶 O(n)

for(i = 1; i <= n; i++)
{
	j = i;
	j++
}

3.对数阶 O(logN)

假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2 N。

for(m=1; m<n; m++)
{
    i = 1;
    while(i<n)
    {
        i = i * 2;
    }
}

//场景2：T（n） = 5logn，执行次数是对数的。
void eat2(int n){
   for(int i=1; i<n; i*=2){
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("等待一天");
       System.out.println("吃一半面包");
   }
}

4.线性对数阶O(nlogN)

将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

for(m = 1;m < n; m++){
	i=1;
	while(i < n){
		i = i * 2;
	}
}

5.平方阶O(n^2)

如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n^2) 了.

for(x=1; i<=n; x++)
{
   for(i=1; i<=n; i++)
    {
       j = i;
       j++;
    }
}

这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n^2)
如果将其中一层循环的n改成m，即：

for(x=1; i<=m; x++)
{
   for(i=1; i<=n; i++)
    {
       j = i;
       j++;
    }
}

那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)
还有立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)等。。。

6.把输入规模看成x轴，所花时间/空间看成y轴

O（n）就是y=x，y随x的增长而线性增长。也就是成正比，一条斜线。
O（1）就是y=1，是一个常量，不管x怎么变，y不变，一条与x轴平行的线。

7.举个简单的例子，要从0加到n，我们会这么写：

int sum = 0;
for(int i = 0;i<=n;++i) {
    sum + = i; 
}

一共算了n次加法，那么就说这个时间复杂度是O（n）。当然O(n)的精确的概念是：是n的最高次方，比如，某个计算共计算了3n+2次，那么这个时间复杂度也是O（n），因为3n+2中的最高次方是n。

如果代码这么写：

int sum = 0;
for(int i = 0;i<= n;i++) {
        for(int j = 0;j<= n;j++) {
               sum + = (i + j);        
          }
}

时间复杂度就是O(n^2)

8.一些例子

要在hash表中找到一个元素就是O（1）
要在无序数组中找到一个元素就是O（n）
访问数组的第n个元素是O（1）
访问链表的第n个元素是O（n）
也就是说：
如果实现中没有循环就是O（1）
如果实现中有一个循环就是O（n）

三、空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的一个量度，同样反映的是一个趋势，我们用 S(n) 来定义。
空间复杂度比较常用的有：O(1)、O(n)、O(n²)，我们下面来看看

1.O(1)

如果算法执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可表示为 O(1).

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

代码中的 i、j、m 所分配的空间都不随着处理数据量变化，因此它的空间复杂度 S(n) = O(1)

2.O(n)

int[] m = new int[n]
for(i=1; i<=n; ++i)
{
   j = i;
   j++;
}

这段代码中，第一行new了一个数组出来，这个数据占用的大小为n，这段代码的2-6行，虽然有循环，但没有再分配新的空间，因此，这段代码的空间复杂度主要看第一行即可，即 S(n) = O(n)。