模板 - 数学 - 组合数学 - 组合数与错位排列数

\(MOD\) 是质数，且 \(MOD>n\) ，可以 \(O(n)\) 线性预处理阶乘和阶乘逆元， \(O(1)\) 求组合数 \(C_n^m\) 。
\(MOD\) 是质数，且 \(MOD\leq n\) ，可以用卢卡斯定理。
\(MOD\) 不是质数，可以用扩展卢卡斯定理，或者 \(C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\) 递推，或者分解阶乘的质因数，用质因数的指数作差避免除法。

线性预处理阶乘和阶乘逆元

const ll MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1e6;

ll inv[MAXN + 5], fac[MAXN + 5], invfac[MAXN + 5];

void init_C(int n) {
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++)
        inv[i] = inv[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;
    fac[0] = 1, invfac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
        invfac[i] = invfac[i - 1] * inv[i] % MOD;
    }
}

ll C(ll n, ll m) {
    if(n < m)
        return 0;
    return fac[n] * invfac[n - m] % MOD * invfac[m] % MOD;
}

错位排列，D[i]表示i个（不同的）元素全部不在应该在的位置（升序/降序等唯一指定位置）的种类数，可以通过dp求出来，但是还是抄模板方便。

const ll MOD = 1e9 + 7;
const int MAXN = 1e6;

//特殊定义D[0]为1
D[0] = 1, D[1] = 0;
for(int i = 2; i <= MAXN; i++) {
    if(i & 1) {
        D[i] = ((ll)i * D[i - 1] - 1ll) % MOD;
        if(D[i] < 0)
            D[i] += MOD;
    } else
        D[i] = ((ll)i * D[i - 1] + 1ll) % MOD;
}