模板 - 数据结构 - 并查集 / Disjoint Set

并查集的英文名理论上是 disjoint-set data structure (also called union–find data structure or merge–find set) 。所以说“并查集”这个词的来源，是其第二个和第三个英文名。

确定两个元素属于同一个集合需要Find找出他们的集合的代表元素再比较。

路径压缩

英文名是 Path compression 。

由于是迭代版本的实现，所以只使用路径压缩也不会导致 stack overflow 。

struct DisjointSet {
    static const int MAXN = 200000;
    int n, rt[MAXN + 5];
 
    void Init(int _n) {
        n = _n;
        for(int i = 1; i <= n; i++) 
            rt[i] = i;
    }
 
    int Find(int u) {
        int r = rt[u];
        while(rt[r] != r)
            r = rt[r];
        int t;
        while(rt[u] != r) {
            t = rt[u];
            rt[u] = r;
            u = t;
        }
        return r;
    }
 
    bool Union(int u, int v) {
        u = Find(u), v = Find(v);
        if(u == v)
            return false;
        else {
            rt[v] = u;
            return true;
        }
    }
};

路径压缩 + 按size合并

英文名是 union by size

struct DisjointSet {
    static const int MAXN = 200000;
    int n, rt[MAXN + 5], siz[MAXN + 5];
 
    void Init(int _n) {
        n = _n;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            rt[i] = i;
            siz[i] = 1;
        }
    }
 
    int Find(int u) {
        int r = rt[u];
        while(rt[r] != r)
            r = rt[r];
        int t;
        while(rt[u] != r) {
            t = rt[u];
            rt[u] = r;
            u = t;
        }
        return r;
    }
 
    bool Union(int u, int v) {
        u = Find(u), v = Find(v);
        if(u == v)
            return false;
        else {
            if(siz[u] < siz[v])
                swap(u, v);
            rt[v] = u;
            siz[u] += siz[v];
            return true;
        }
    }
};

扩展域并查集

通常有一些题目，某个元素x不在集合1中就在集合2中，这个时候就把x拆成两个点 \(x_1\) （表示x在集合1中）和 \(x_2\) （表示x在集合1中）。在需要的时候还可以在并查集中加入两个特殊的点 \(TRUE\) 和 \(FALSE\) ，根据题目的限制以及所给的一些额外信息，上面的一些信息会变成等价（可以互相推出）的，这个时候由于并查集本身是维护等价类的，就可以把对应的信息连边，也就是合并等价类。

一些思考：
1、 Union 操作无论结果是 true 还是 false ，其结果都是本身是等价类的信息现在也依然是等价类。
2、恒为真的信息可以和 \(TRUE\) 连边，恒为假的信息可以和 \(FALSE\) 连边。
3、不矛盾的条件是，对于每个点x（指普通的点，有些特殊的点确实分到了集合3中）\(x_1\) 和 \(x_2\) 不在同一集合中，且 \(TRUE\) 和 \(FALSE\) 也不在同一集合中。

参考资料

Disjoint-set data structure - Wikipedia